Parabole et mauvaise réception
Bonjour à tous,
$\textbf{Problème}$: Etant donnés un repère rectangulaire $(xOy)$ et une parabole $\mathscr{P}_{CAB}$ dont le sommet passe par $O$, une sécante $D_{MAB}$ rencontrant la parabole en $A$ et $B$ se meut sous la condition que les normales menées à la parabole par les points $A$ et $B$ se coupent en un point $C$ de cette courbe.
Par ce point $C$, on mène la tangente $T_{CM}$ qui coupe la sécante $D$ en un point $M$.
Cela posé, on demande de trouver l'équation de la courbe décrite par le point $M$ quand la sécante $D$ prend toutes les positions compatibles avec la condition énoncée.
On notera $y'$ l'ordonnée du point de rencontre de la normale avec la courbe et $(\alpha, \beta)$ les coordonnées du point $C$ de la parabole par lequel passent les trois normales.
Sur $\textbf{GeoGebra}$, je trace mes axes perpendiculaires, ma parabole, ma sécante coupant la parabole aux points $A$ et $B$, les tangentes à la parabole aux points $A$ et $B$ et les droites perpendiculaires aux tangentes en $A$ et $B$ mais je n'arrive pas à obtenir que ces perpendiculaires (les fameuses normales) se rencontrent en un point $C$ de la parabole.
Je me demandais juste si quelqu'un était en mesure de réaliser cette figure sur GeoGebra.
Comment former l'équation d'une normale en un point à une parabole ?
En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions.
...
$\textbf{Problème}$: Etant donnés un repère rectangulaire $(xOy)$ et une parabole $\mathscr{P}_{CAB}$ dont le sommet passe par $O$, une sécante $D_{MAB}$ rencontrant la parabole en $A$ et $B$ se meut sous la condition que les normales menées à la parabole par les points $A$ et $B$ se coupent en un point $C$ de cette courbe.
Par ce point $C$, on mène la tangente $T_{CM}$ qui coupe la sécante $D$ en un point $M$.
Cela posé, on demande de trouver l'équation de la courbe décrite par le point $M$ quand la sécante $D$ prend toutes les positions compatibles avec la condition énoncée.
On notera $y'$ l'ordonnée du point de rencontre de la normale avec la courbe et $(\alpha, \beta)$ les coordonnées du point $C$ de la parabole par lequel passent les trois normales.
Sur $\textbf{GeoGebra}$, je trace mes axes perpendiculaires, ma parabole, ma sécante coupant la parabole aux points $A$ et $B$, les tangentes à la parabole aux points $A$ et $B$ et les droites perpendiculaires aux tangentes en $A$ et $B$ mais je n'arrive pas à obtenir que ces perpendiculaires (les fameuses normales) se rencontrent en un point $C$ de la parabole.
Je me demandais juste si quelqu'un était en mesure de réaliser cette figure sur GeoGebra.
Comment former l'équation d'une normale en un point à une parabole ?
En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions.
...
Réponses
-
Mon cher df
En principe, tu dois savoir écrire l'équation de la normale en un point d'une courbe différentiable quelconque et a fortiori d'une parabole.
Il me semble qu'il y a presque 2000 ans Appolonius en savait visiblement plus que toi sur les normales à une parabole.
Au lieu de te demander si quelqu'un est capable de quoi que ce soit dans cet exercice, essaye au moins d'écrire l'équation d'une normale passant par un point donné du plan.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
@pappus,
j'ai une corde $AC$ normale à la parabole en $A(x_1, y_1)$ et passant par $C(\alpha, \beta)$.
La parabole rapportée à son axe a sa tangente au sommet $O$.
On a donc:
\begin{equation}
\displaystyle y_1^2=2px_1 \\
\beta^2=2p\alpha.
\end{equation}
Mais on suppose que $C(\alpha, \beta)$ est à l'intersection de la parabole et de la normale en $A(x_1,y_1)$. Donc il vérifie:
\begin{equation}
\displaystyle p(\beta - y_1)+y_1(\alpha-x_1)=0
\end{equation}
Je dois éliminer $x_1$ et $\alpha$ entre les trois équations.
$x_1=\frac{y_1^2}{2p}, \:\:\alpha=\frac{\beta^2}{2p}$ et je substitue ces nouvelles valeurs dans la dernière équation.
$p(\beta-y_1)+y_1(\alpha-x_1)=p(\beta - y_1)+y_1(\frac{\beta^2}{2p}-\frac{y_1^2}{2p})=(\beta^2-y_1^2)\frac{y_1}{2p}+p(\beta-y_1)$.
J'ai $y_1 \neq \beta$ donc je divise par $(\beta -y_1)$:
\begin{equation}
\displaystyle (\beta+y_1)\frac{y_1}{2p}+p=0,
\end{equation}
Est-ce que je continue dans cette direction ? Je demande ça parce que je suis censé trouver une équation du troisième degré et ce n'est pas du tout ce que j'obtiens.
... -
Bon, il est 4 heures du matin. Il n'y a plus personne. J'en profite pour m'installer aux commandes et toucher à tous les boutons.
\begin{align*}
\beta&=-\frac{y_1^2+2p^2}{y_1}=-\frac{2p(x_1+p)}{y_1} \\
\frac{\beta}{2p}&=-\frac{x_1+p}{y_1}
\end{align*} Mais $\displaystyle \beta=\frac{2p\alpha}{\beta}$. Donc $\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}=-\frac{x_1+p}{y_1}.$
Après deux nouvelles substitutions:
\begin{equation}
\alpha= \frac{2p(x_1+p)^2}{y_1^2} = \: \frac{(x_1+p)^2}{x_1}.
\end{equation} Il faut maintenant trouver l'équation de la tangente en $C$:
\begin{equation}
\beta y = p\big(x+\frac{\beta^2}{2p}\big).
\end{equation} Et là je patauge à nouveaux dans les substitutions. De toutes façons (à supposer que tout ceci est juste), je suis encore très loin d'une équation du troisième degré !
On verra demain. Bonne nuit à tous.
PS: Bien sûr que Appolonius: http://www.numdam.org/article/RHM_1999__5_1_61_0.pdf était plus fort que moi dans le domaine des coniques. Sauf que lui n'était même pas fichu de formuler correctement l'hypothèse de Riemann !
... -
J'ai fait quelques calculs avec $y = x^2$ comme parabole.
J'arrive au fait que $M$ est sur la courbe d'équation $\left(y+\dfrac12\right)^2 + x^2(1+3y) = 0$. -
Mon cher df
Apollonius ne connaissait pas l'hypothèse de Riemann mais à quoi bon la connaître aujourd'hui si on ne fait pas l'effort d'essayer de la démontrer!
C'est quand même plus passionnant que les petits trifouillages géométriques de ce forum.
Merci en tout cas d'avoir commencé à faire des calculs.
J'ai plusieurs remarques à te faire:
Pourquoi utilises-tu la lettre grecque $\beta$ ennuyeuse à taper sous $\LaTeX$ plutôt qu'une lettre de notre alphabet comme $t$?
Pourquoi ne pas écrire instantanément l'équation de la tangente si tu es censé savoir ton cours sur les coniques?
A-t-on vraiment besoin d'écrire au préalable l'équation de la tangente pour récupérer celle de la normale?
Je te propose le schéma de calcul suivant:
Dans le repère orthonormé de ta figure, la parabole a pour équation (dite réduite):
$y^2-2px=0$
Tu te rends compte qu'au jour d'aujourd'hui, cette équation résume à elle seule tout ce que nous savons sur la parabole, c'est un peu triste et je comprends tes difficultés à faire ce minuscule exercice.
On a besoin d'avoir une représentation paramétrique simple de la parabole.
Celui qui a donné ce problème suggère fortement de paramétrer par l'ordonnée:
$M(t): x=\frac{t^2}{2p}, y=t$
Voilà maintenant la marche à suivre:
1° On écrit l'équation de la normale à la parabole au point $M(t)$. Ce devrait être un polynôme du troisième degré en $t$.
2° Tu m'écris que le point $C=M(c)$ est sur cette droite.
Tu constateras que ton équation du troisième degré admet une racine évidente.
Il va te rester une équation du second degré en $t$ dont les racines seront les ordonnées $a$ de $A$ et $b$ de $B$
Puis tu continues sur ta lancée.
Ecris moi au moins cette équation du second degré avec mes notations (pour éviter ces maudites lettres grecques) pour me prouver que tu as fait un effort de compréhension!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
@pappus: tout d'abord merci pour ces explications.
L'équation de la normale au point $M_i(x_i,y_i)$ s'écrit: $py+xy_i-py_i-x_iy_i=0$.
L'équation de la normale à la parabole au point $M(\frac{t^2}{2p},t), \: t \in \mathbb{R}$ et passant par $C(c_1,c_2)$ vérifie donc:
$t^3+2p(p-c_1)t-2p^2c_2=0$.
Le point $C$ étant sur la parabole, cette équation sera vérifiée pour $t=c_2$ et l'équation se ramène à:
$t^2+c_2t+2p^2=0$.
... -
Pappus, les lettres grecques sont très belles tout comme l'est la langue qui les utilisaient dans l'Antiquité.
-
Mon cher df
C'est presque ça, bravo!
Mais tu n'as pas encore compris que le point $C(c_1, c_2)$ appartenait à la parabole et que par suite: $c_2^2-2pc_1=0$
Autrement dit $c_1=\frac{c_2^2}{2p}$.
Autant écrire $c_2=c$
Regarde attentivement ce que j'ai écrit: $C=M(c)$
Autrement dit le paramètre $t$ du point $C$ est égal à $c$:
$t=c$ et les coordonnées du point $C$ sont $(\frac{c^2}{2p},c)$
Si tu avais voulu respecter mes notations, Il aurait fallu écrire ton équation (exacte):
$t^2+ct+2p^2=0$
Ce fut dur mais on y est arrivé.
Mais c'est loin très loin d'être terminé et dans ce qui va suivre, je te rappelle à tout hasard pour que tu n'oublies pas les coordonnées des points $A$ et $B$:
$A(\frac{a^2}{2p},a)$ et $B(\frac{b^2}{2p},b)$
Maintenant on est face à trois problèmes absolument abominables dans ce siècle analphabète:
1° Ecrire une équation de la tangente en $C$ à la parabole.
2° Ecrire une équation de la droite $AB$.
3° Déterminer le lieu de l'intersection de ces deux droites!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir à tous
Je n'ai pas attendu df pour terminer les calculs mais j'avais bien noté que dm974 en avait aussi proposé.
Je n'ai pas compris pourquoi il n'a traité que le cas particulier ($p=\frac 12$) et non le cas général qui n'était pas beaucoup plus compliqué mais bon puisque tout se passe à similitude près, ce n'est pas très grave.
df s'est surtout posé la question de faire la figure.
J'y répondrai en temps voulu mais il faut comprendre que j'ai fait ma première figure avant de faire le moindre calcul, ce qui fait qu'elle manquait un peu de précision et que je me suis trompé en interprétant le résultat flou donné par le logiciel.
Maintenant que les calculs sont terminés, j'ai fait une figure exacte et le logiciel m'a fourni pour le lieu de $M$ un résultat conforme aux calculs de dm974.
Voici ci-dessous ma nouvelle figure.
Il est très intéressant de voir comment ces calculs une fois terminés permettent de faire une figure correcte!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
$\textbf{Equation de la tangente en $C$}$
On a $C(\frac{c^2}{2p},c)=M(c)$.
On cherche un vecteur directeur $\overrightarrow{v}$ de la tangente en $M(c)$.
Ses coordonnées sont $\overrightarrow{v}\:(\frac{c}{p},1)$. Un point $M(x,y)$ appartient à cette tangente si $\overrightarrow{CM}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires:
\begin{equation}
\begin{vmatrix} x-\frac{c^2}{2p} & \frac{c}{p} \\ y-c & 1 \end{vmatrix} = \big(x-\frac{c^2}{2p}\big) + \frac{c^2}{p} - \frac{yc}{p}=0 \\
yc=p\big(x+\frac{c^2}{2p}\big)
\end{equation}
... -
Mon cher df
Que c'est laborieux!
Ce n'est pas ta faute mais celle de l'enseignement indigne que tu as subi!
Il reste le plus délicat: l'équation de la droite $AB$ et c'est là où je t'attends de pied ferme!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
@pappus: que de mépris... envers le corps enseignant ! Et je passe sur mon petit cas personnel.
Sache que, contrairement à ce que tu dis: c'est de ma faute !
J'ai eu d'excellents professeurs (et pas seulement en maths d'ailleurs).
Seulement: trop de dilettantisme au moment où il aurait fallu cravacher et (concernant les maths) pas d'aptitudes naturelles expliquent la situation que tu constates.
Mais peu importe. Oublions cela.
Actuellement je suis un peu pressé par le temps mais je répondrai à ta question sur la droite $AB$. J'ai une idée pour traiter le problème.
N'y répond pas s'il te plait. J'y reviens très vite...
Cordialement. -
Mon cher df
Je n'ai aucun mépris pour le corps enseignant et je ne doute pas que tes professeurs fussent excellents.
Là n'est pas la question!
Mais ils sont bien obligés d'enseigner le programme qu'on leur impose et qui s'est réduit au fil des années à une peau de chagrin!
En ce qui concerne la formation de l'équation de la droite $AB$, tout tourne autour du polynôme en $t$:
$t^2 +ct+2p^2$ dont les racines sont les ordonnées $a$ et $b$ des points $A$ et $B$.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
$\textbf{Equation de la sécante AB}$
On a donc $A(\frac{a^2}{2p},a)$ et $B(\frac{b^2}{2p},b)$.
Une écriture générale de la sécante $AB$ passant par $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ et $M(x,y)$ doit-être :
\begin{equation}
\displaystyle (y-y_1)=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1)
\end{equation}
On calcule: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)=2p(\frac{a^2}{2p}-\frac{b^2}{2p})$.
Mais les coordonnées de $A$ et $B$ vérifient :
\begin{equation}
\displaystyle t^2+ct+2p^2=0
\end{equation}
Les fonctions symétriques des racines de cette équation du second degré invitent à remplacer $a+b$ par $-c$.
@pappus: c'était ça l'idée dont je te parlais...
On a donc :
\begin{align*}
-c(a-b)&=2p\big(\frac{a^2}{2p}-\frac{b^2}{2p}\big) \\
\frac{a-b}{(\frac{a^2}{2p}-\frac{b^2}{2p}\big)}&=\frac{-2p}{c}
\end{align*}
On réécrit donc l'équation de la sécante :
\begin{equation}
\displaystyle (y-y_1)=\frac{-2p}{c}(x-x_1) \: \: \Longleftrightarrow ca+a^2=2px+cy
\end{equation}
L'égalité $ca+a^2-(2px+cy=0)$ n'est pas sans rappeler l'équation $t^2+ct+2p^2=0$ qui joue décidément le rôle clé de toute cette histoire.
On en déduit :
\begin{equation}
\displaystyle ca+a=2px+cy=-2p^2 \Longleftrightarrow c=-\frac{2p(x+p)}{y}.
\end{equation}
On substitue cette valeur de $c$ à l'équation de la tangente en $C$:
\begin{equation}
\displaystyle y^2(2p+3x)+2p(p+x)^2=0.
\end{equation}
... -
Mon cher df
Bravissimo, c'était la méthode à suivre, même si on pouvait la présenter un peu plus esthétiquement.
Il y a un moyen de contrôle, le calcul de dm974!
Trouves-tu la même chose que lui?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Te rends-tu compte que c'est la méthode suivie par nos grands anciens pour trouver la tangente à une courbe (algébrique)?
Explique moi cela! -
@pappus :
J'ai simplifié le problème avec $p = \frac12$ et en tournant la parabole pour voir si cet exercice peut être donné en classe de lycée (1re S, par exemple, lorsqu'on étudie les paraboles et les normales).
Sinon, je confirme l'expression finale de df, j'obtiens la même pour $p$ quelconque, même si je m'y prends un peu différemment.
Je trouve le lien entre $a$ et $b$ pour que leurs normales se coupent sur la parabole.
J'ai une équation du 4e degré mais qui s'exprime en fonction de $S=a+b$ et $P=ab$ pour obtenir la relation $ab=2p^2$. -
Bonjour df
Ton équation finale est correcte mais les calculs pour l'obtenir sont bien laborieux.
Deux remarques :
Comme on le voit sur la figure de Pappus, les droites $AB$ passent toutes par le point $H=\left( -p,0\right) $
Le lieu de $M$ est la partie de la cubique de Pappus correspondant à $x\leq -2p$
Bien cordialement. Poulbot -
Bonjour à tous
Comment ai-je tracé ma première figure sans faire le moindre calcul?
Tout simplement en appliquant la théorie d'Apollonius datant de presque $2000$ ans, autant dire que ce brave Apollonius s'est donné beaucoup de mal pour pas grand chose, du moins dans notre république!
J'ai pris un point $C$ quelconque sur la parabole. J'ai tracé son hyperbole d'Apollonius et pris ses intersections avec la parabole
Parmi ces quatre intersections figurent le point $C$, le point à l'infini de la parabole, les deux autres quand ils existent étant les points $A$ et $B$.
C'était suffisant pour faire la figure mais pas pour avoir le lieu de $M$ car le logiciel avait sans doute du mal à gérer ces quatre intersections.
Mais une fois les calculs terminés, on s'aperçoit que la droite $AB$ passe par un point fixe et est parallèle à la droite $OC'$, ce qui est suffisant pour la tracer. Ensuite le logiciel n'a plus qu'à gérer l'intersection d'une droite avec la parabole, ce qui est tout à fait dans ses cordes.
On voit donc toute l'importance du dialogue qui doit s'installer entre les calculs et les tracés graphiques.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous,
@pappus: c'est probablement parce que les grands anciens ne sont pas pour rien dans cette solution. J'avais déjà rencontré cette méthode fondée sur les éliminations de variables par des substituions en cascades.
C'est bien la solution que tu t'attendais à lire n'est-ce pas ? Si j'en juge par ton indication sur les racines de l'équation du second degré...
J'ai enfin, je ne vous le cache pas, bénéficié de quelques indications bienveillantes à partir desquelles j'ai extrapolé.
Il est toujours très instructif de commencer par faire un dessin sur un modeste logiciel comme GeoGebra.
... -
Bonjour,
Pappus nous dit un peu plus haut que les anciens utilisaient cette méthode pour construire la tangente à une courbe algébrique.
Comment procédaient-ils ? -
Bonsoir à tous
Je change un peu mes notations car ce problème des tangentes n'a rien à voir avec l'exercice initial sur les normales.
Pour faire plaisir à dm974, je vais le faire sur la parabole $\Gamma$ d'équation $y=x^2$.
C'est valable dans un repère affine quelconque mais pour ne pas traumatiser les élèves de Première S ou plus généralement tous ceux, la plus grande majorité, qui n'ont jamais entendu parler de plan affine, le repère est supposé orthonormé.
On se donne deux points $M_1=M(x_1,x_1^2)$ et $M_2=M(x_2,x_2^2)$ de la parabole $\Gamma$ et on se pose la question abominable d'écrire une équation de la sécante $M_1M_2$.
On peut le faire de la façon standard qu'a suivie df mais en voici une autre plus esthétique:
Cette droite a une équation de la forme:
$$ux+vy+w=0$$
On forme l'équation aux abscisses $x$ des points d'intersection de cette droite avec la parabole:
$$ux+vx^2+w=0$$
On connait les racines de cette équation, à savoir $x_1$ et $x_2$, donc d'après les relations entre coefficients et racines:
$x_1+x_2=-\dfrac uv$ et $x_1x_2=\dfrac wv$
Il en résulte que le triplet $(u,v,w)$ est proportionnel au triplet $(-(x_1+x_2),1,x_1x_2)$
On écrit aussi de façon plus savante:
$(u:v:w)=(-(x_1+x_2):1:x_1x_2)$
L'équation de la sécante $M_1M_2$ est donc: $y=(x_1+x_2)x-x_1x_2$
Pour avoir l'équation de la tangente au point $M(t)=M(t,t^2)$, nos grands anciens faisaient froidement $x_1=x_2=t$ dans l'équation de la sécante pour obtenir:
$$y=2tx-t^2$$
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir,
Merci Pappus pour cette démonstration limpide et élégante. J'aimerais bien pouvoir rédiger ainsi, mais la plupart du temps mes calculs partent dans toutes les directions et sont donc interminables...
Lorsque nos vénérables anciens faisaient $x_1=x_2=t$ dans l'équation de la sécante pour trouver celle de la tangente, ils ont bien dû se dire que ce passage à la limite pouvait poser problème non ? -
Bonsoir à tous
Je reprends la même méthode avec la cubique $y=x^3$ mais là pour les très bons élèves de Première S.
L'équation aux abscisses $x$ des points d'intersection est:
$$ux+vx^3+w=0$$
Cette équation a trois racines $(x_1,x_2,x_3)$, pourquoi? (On connait déjà deux racines $x_1$ et $x_2$!)
On a les relations entre coefficients et racines dues à la factorisation:
$x_1+x_2+x_3=0$, $x_2x_3+x_3x_1+x_1x_2=\dfrac uv$, $x_1x_2x_3=-\dfrac wv$
Là il n'est pas trop difficile de leur montrer que si un polynôme $P$ a pour racine $a$, alors il est divisible par $X-a$.
Il en résulte que:
$$(u:v:w)=(x_2x_3+x_3x_1+x_1x_2:1:-x_1x_2x_3)=(-x_1^2-x_2^2-x_1x_2:1:x_1x_2(x_1+x_2))$$
Donc l'équation de la sécante $M_1M_2$ est:
$$y=(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)x-x_1x_2(x_1+x_2)$$
L'équation de la tangente au point $M(t)=M(t,t^3)$ s'obtient en faisant $t_1=t_2=t$, soit:
$$y=3t^2x-2t^3$$
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Mon cher Ludwig
Le passage à la limite? Ils ne savaient pas ce qu'était une limite!
Voir la querelle des indivisibles.
En fait ce que j'ai fait, ce n'est pas de la géométrie différentielle mais bien de la géométrie algébrique (ultra élémentaire!).
Amicalement
[small]p[/small]appus -
@Pappus :
Concernant tes calculs avec $y=x^3$, je crains que cela ne soit hors de portée d'un élève de lycée :
- 3e solution de l'équation de degré 3 : peut-être en TS une fois qu'ils ont vu les racines complexes et qu'elles vont par paires, et encore...
- relations coeff-racines pour le degré 3 : hors-programme.
- $P$ divisible par $X-a$ si $a$ est racine : pas vraiment au programme, on dit "montrer que P peut s'écrire sous la forme $(X-2)( ... )$ -
Sans compter qu'il faut bien justifier le fait qu'on puisse faire $t_1=t_2=t$ car dans ce cas il n'y a plus de sécante, et les calculs qui vont avec n'ont pas forcément lieu d'être. Cela les anciens, avec toute leur finesse d'esprit, ont bien dû le remarquer, mais ils l'ont fait car "ça marchait".
Une bonne journée -
Bonjour dm974 et Ludwig
Evidemment tout ceci est laissé à votre appréciation mais j'ai bien dit que cet exercice était réservé aux très bons élèves.
1° Le fait que $P(a)=0$ entraîne la divisibilité de $P$ par $X-a$ est assez facile et peut être compris même par l'élève $\lambda$
2° $P$ est du troisième degré et on en connait deux racines $x_1$ et $x_2$ puisque on a affaire à une sécante $M_1M_2$
Donc $P$ est divisible par $(X-x_1)(X-x_2)$ et s'écrit forcément sous la forme:
$P=A(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$.
3° On en déduit les relations entre coefficients et racines, etc...
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous,
dans une note de la RMS, un lecteur remarque que pour chaque position de la sécante $AB$, le centre de gravité du triangle $CAB$ est situé sur l'axe focal de la parabole (la droite passant par le foyer et le sommet).
La courbe lieu de $M$ est symétrique par rapport à $(Ox)$, d'asymptote $x=\frac{-2p}{3}$ et comme @pappus l'a montré, la sécante passe par un point fixe situé sur l'axe focal.
Plusieurs résultats sont énoncés sans démonstrations: le point fixe de la sécante est aussi un point multiple.
Il y a dans ce problème une autre parabole: la parabole asymptote. Les deux paraboles ont ce point fixe pour centre d'homothétie de rapport $-1/3$.
La seconde branche du lieu de $M$ n'a pas d'asymptote.
etc...
... -
En utilisant cette construction "à l'envers" on peut obtenir celle de la tangente en un point de la parabole.
Considérons que c'est le point A qui varie sur la parabole, et non C. La droite parallèle à (AH) passant par le sommet O de la parabole recoupe cette parabole en C'. Le symétrique C de C' par rapport à (OF) permet de tracer la normale (AC), et donc la tangente en A.
Mais la méthode de Torricelli est plus simple.
Bonne journée,
Ludwig -
Mais je reviens à la configuration de départ. Lorsque C se déplace sur la parabole je m'intéresse à la position limite de la sécante (AB), celle où A = B. Je considère la portion de parabole qui contient son sommet O et qui est délimitée par ce point limite A = B et son symétrique E par rapport à l'axe de la parabole. Cette portion ne joue-t-elle pas un rôle quant à la "mauvaise réception" évoquée dans le titre de ce fil ? (pourquoi ce titre sinon ?)
Car si on construit une parabole plus large que cette portion alors il y a deux "rayons" (en jaune sur la figure) qui arrivent au même endroit, et cela peut brouiller le signal. Cela n'arrive pas si on se limite à la portion citée. Mais possible que je dise n'importe quoi.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 29
+21 Invités