Aire moyenne d'un triangle dans cercle trigo

birouma
birouma
dans Géométrie
Bonjour,
Je cherche quelle est l'aire moyenne d'un triangle dont les sommets sont choisis au hasard sur le cercle trigonométrique.
Par un raisonnement qui peut sembler correct à première vue et un peu de calcul intégral, j'ai trouvé 16/(9.pi), soit environ 0,566. Voir le document joint.
Mais, en programmant le sujet sur ma TI 83, j'ai trouvé, pour 10 000 triplets de sommets choisis au hasard, une aire moyenne d'environ 0,478574.
La méthode que j'avais utilisée pour simuler l'équirépartition sur un cercle est donc fausse (le calcul intégral est correct a priori !), ce que je conçois tout à fait.
Quelqu'un connaîtrait-il une solution à ce problème ?
Merci d'avance

Réponses

  • pappus
    pappus
    Bonjour Birouma
    Tu devrais avoir plus ce chances de réponses, c'est le cas de le dire, sur les forums de Probabilités ou de Statistiques!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Dom
    Dom
    Bonjour,

    Cela me fait penser au paradoxe de Bertrand.
    J’ai lu ton pdf, je ne remets pas en cause les calculs même si je ne les ai pas vérifiés.

    1) tu dis choisir des points uniformément sur le cercle grâce à leurs angles entre $-\pi$ (exclu) et $\pi$ (inclus).
    C’est comme cela que je ferais.

    2) tu sembles dire que c’est équivalent à choisir la distance $OP$ (Hauteur principale du triangle isocèle OAB) entre $0$ et $1$ de manière uniforme, et le troisième point $C$ avec son angle (uniformément sur un intervalle).
    C’est là que mon esprit doute le plus. Tes calculs partent de ce postulat, si j’ai bien compris.

    Quand tu as programmé ta calculatrice pour la simulation, quelle « méthode aléatoire » as-tu choisie ?
    1) ou 2) ?

    Pardon si je fais une mauvaise lecture de ton travail.
  • Ludwig
    Ludwig
    Je crois moi aussi que ta rotation de centre O faisant en sorte que le segment [AB] soit horizontal n'est pas neutre, elle fausse le calcul.
  • gerard0
    gerard0
    C'est tout à fait le paradoxe de Bertrand.

    Les équivalences, en probabilités géométriques, sont à justifier parfaitement; l'intuition est à rejeter comme argument.

    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    Ainsi, pour la modélisation on peut faire comme cela :
    On note $X$, $Y$ et $Z$ trois variables aléatoires suivante un loi uniforme sur $]\pi;\pi]$.

    Cela définit trois points : $A(\cos(X);\sin(X))$, $B(\cos(Y);\sin(Y))$ et $C(\cos(Z);\sin(Z))$.
    Il reste à déterminer l'aire du triangle $ABC$ en fonction des coordonnées de ses sommets, c'est à dire en fonction de $X$, $Y$ et $Z$.
    Je ne sais pas si c'est aisé ou bien s'il existe une méthode astucieuse.

    Par contre, pour déterminer cette aire, on a le droit de choisir un repère qui nous simplifie la vie (la rotation évoquée, par exemple).

    Une manière de faire "brutalement" est de s'appuyer sur la formule de Héron...qui fait intervenir les longueurs des côtés...et dont je n'ai pas envie de tester la moindre ligne de calculs, par une flemme dominicale exacerbée et surtout en me disant que c'est certainement très fastidieux...avant de commencer.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    On passe en complexe. On peut toujours considérer que les sommets du triangle sont $1, e^{i x}, e^{i y}$ avec $(x,y)\in [0,2\pi]^2$. Comme l’aire vaut $S=1/2 \times a b \sin \gamma$ avec des notations à deviner, alors $S=2/\pi^2 \int_{[0,\pi]^2} \sin u \sin v |\sin (u+v)| du dv=3/(2 \pi)=0,47746(5)$ avec $u=x/2,v=y/2$ uniformément distribuées.
  • birouma
    birouma
    Un immense MERCI pour cette très jolie et incontestable solution !
  • birouma
    birouma
    Pour remercier YvesM et tous ceux qui se sont mobilisés, voici le détail de la solution proposé par YvesM. J'espère qu'il n'y a pas trop de coquilles, je ne me suis pas relu.

    Pour répondre à Dom, avec un peu de retard pardon, le petit programme sur TI83 est basé sur le choix aléatoire de n fois 3 nombres X, Y et Z compris entre 0 et 2.pi (2.pi x NbrAléat). Ensuite, comme YvesM, on calcule la valeur absolue du produit vectoriel des vecteurs AB (cosY-cosX , sinY-sinX) et AC (...) ; puis on calcule la demi-moyenne des n produits vectoriels.
  • birouma
    birouma
    Bonjour,

    Il y avait plusieurs erreurs dans le document précédent, c'est honteux.
    Voici une version beaucoup plus courte et, je l'espère, toute juste.
    Evidemment, c'est encore plus rapide avec Wolfram|Alpha !

    A bientôt
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Mon erreur de signe n’aide pas... la surface est nulle lorsque le triangle est aplati.
  • birouma
    birouma
    Bonjour YvesM,

    En fait, le résultat est le même avec |sin(x-y)| et |sin(x+y)|, seulement, toi, tu l'avais vu !
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Je sais que le résultat est le même, mais j’avais fait une typo : je trouve bien $u-v$ et c’est plus facile comme ça car alors l’aire d’un triangle aplati $u=v$ est nulle de façon évidente.
  • callipiger
    callipiger
    Bonsoir,
    attention au paradoxe de Bertrand
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 14

AmadouCongrukolotoko +11 Invités