Corde tendue entre deux sphères
Bonsoir à tous,
je me pose des questions concernant la longueur d'une corde tendue (donc de longueur minimale) entre deux sphères. Plus précisément, si je me donne un point sur chacune de ces sphères (ces deux points ne se voient pas), quelle est la longueur de cette corde ?
La difficulté vient du fait que l'on ne connaît pas (il me semble ?) les points A et B où la corde "quitte" (c'est-à-dire n'est plus adhérente à) chaque sphère.
Je suis parti dans l'expression générale de la corde (arc de sphère + longueur droite + arc de sphère ; avec des points A et B quelconques) et je pensais trouver le minimum de cette fonction mais le système à résoudre est très compliqué.
Mes questions sont donc : avez-vous une idée pour aborder le problème ? Que pensez-vous de ma méthode ? Y a-t-il des propriétés géométriques spécifiques que je pourrais exploiter ?
Merci d'avance.
je me pose des questions concernant la longueur d'une corde tendue (donc de longueur minimale) entre deux sphères. Plus précisément, si je me donne un point sur chacune de ces sphères (ces deux points ne se voient pas), quelle est la longueur de cette corde ?
La difficulté vient du fait que l'on ne connaît pas (il me semble ?) les points A et B où la corde "quitte" (c'est-à-dire n'est plus adhérente à) chaque sphère.
Je suis parti dans l'expression générale de la corde (arc de sphère + longueur droite + arc de sphère ; avec des points A et B quelconques) et je pensais trouver le minimum de cette fonction mais le système à résoudre est très compliqué.
Mes questions sont donc : avez-vous une idée pour aborder le problème ? Que pensez-vous de ma méthode ? Y a-t-il des propriétés géométriques spécifiques que je pourrais exploiter ?
Merci d'avance.
Réponses
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Merci Kipgon pour ce beau problème.
Que peut-on bien dire des tangentes communes à deux sphères?
Passent elles toujours par les centres d'homothéties de ces deux sphères?
Si oui, elles devraient avoir une longueur constante.
Est-on sûr d'avoir des arcs de cercle (pas forcément géodésiques) sur chaque sphère?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir,
Avant que nos géo-maîtres (Edit : trop tard, notre cher [small]p[/small]appus est passé avant que je n'envoie) ne plient le problème en trois lignes, je tente quant à moi une approche simplifiée.
On considère deux cercles (dans un même plan) de rayons distincts et de centres respectifs $A$ et $B$.
Un point $M$ sur le premier et un point $N$ sur le second.
Je sais qu'ils sont homothétiques de deux manières différentes et je nomme $S$ et $T$ les centres de ces homothéties.
La partie "segment" a pour support une droite tangente aux deux cercles en $U$ et $V$ et passant par le centre de l'homothétie.
Bien entendu, selon la position des points $M$ et $N$, c'est l'une ou l'autre (ou les deux !) des homothéties qu'il faut considérer.
Voilà ma piètre contribution. -
Bonsoir et merci pour vos réponses,
En fait je visualise bien le problème en 2D mais j'ai beaucoup de mal en 3D.
Je vois bien les deux sphères comme reposant dans un cornet de glace mais est ce que les points M, U, V et N sont forcément dans le même plan ? Si c'est le cas ce n'est pas évident pour moi :-S
Concernant les arc de cercles, je ne me suis pas vraiment posé la question s'ils étaient géodésiques ou pas... Je me suis dit qu'il minimisaient la distance et qu'ils devaient donc l'être...
Amicalement,
Kipgon -
Bonsoir kipgon
Si les arcs sont géodésiques, le chemin ne devrait pas être de classe $\mathcal C^1$.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir Pappus,
Pas de classe $\mathcal{C}^1$ ? Mince, comment vois tu cela ? C'est parce que les points A, M, U, B, N et V ne sont effectivement pas dans le même plan ? Pour être des géodésiques, il faudrait que A, M et U soient dans le même plan. De même pour B, N et V. Or il n'y a pas de raison que ces deux plans soient identiques. Donc la corde globale n'est pas $\mathcal{C}^1$, c'est bien ça ?
Mais donc A, M, U, B, N et V ne sont pas dans le même plan mais M, U, V et N le sont ? Les arcs sont des portions de "petits cercles" ?
Amicalement,
Kipgon -
Mon cher Kipgon
J'ai peut être dit une bêtise.
Je n'ai plus les idées très claires dans mon grand âge!
Il me vient une idée peut-être complètement farfelue!
On cherche à minimiser un chemin formé de trois morceaux:
Un chemin $L_1$ partant de $M$ tracé sur la première sphère, une tangente commune dont la longueur est constante et connue, un chemin $L_2$ tracé sur la deuxième sphère et arrivant en $N$.
En fait on doit minimiser $l(L_1)+l(L_2)$ où $l(L)$ désigne la longueur du chemin $L$.
Si on fait l'homothétie $h$ envoyant la sphère $S_2$ sur $S_1$ de centre le point $O$ par lequel passe la tangente commune, on obtient un chemin $L'_2=h(L_2)$ tracé sur la sphère $S_1$ partant du point $N'=h(N)$ et qui devrait se raccorder "proprement" au chemin $L_1$ en un point $P$ situé sur le petit cercle de contact $\gamma$ tracé sur $S_1$, intersection du plan polaire de $O$ avec à la sphère $S_1$
Mais $l(L'_2)=\dfrac{R_1}{R_2}l(L_2)$
Donc on doit trouver sur la sphère $S_1$ le chemin $L_1+L'_2$ partant de $M$ et arrivant en $N'$ tel que $l(L_1)+\dfrac{R_2}{R_1}l(L'_2)$ soit minimum. Cela me fait penser à un problème de réfraction dans le cas plan (minimisation du chemin optique).
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Dans le cas $R_1=R_2$ cela règle la question, on doit minimiser la longueur d'un chemin de $S_1$ partant de $M$ et arrivant en $N'=h(N)$.
Ici $h$ est la translation envoyant $S_2$ sur $S_1$. -
M'est avis que $\{ AMUV \}$ d'une part et $\{ BNVU \}$ d'autre part sont coplanaires.
Un plan variable contenant $A$ et $M$ coupe un autre plan variable contenant $B$ et $N$
en une droite dépendant de deux paramètres.
J'espère que l'on peut ajuster ces paramètres afin que cette droite touche les sphères.
Je tente un dessin. -
Bonjour à tous,
Merci Soland pour ta réponse, j'avoue que ton dessin m'aiderait bien à visualiser le problème. Il me semble que j'ai la même intuition que toi. Cependant si de telles situations existent et permettent bien d'obtenir une corde $\mathcal{C}^1$, minimisent elles pour autant la distance ?
Pappus, ton raisonnement fondé sur les homothéties est très interessant. Pour autant, je ne comprends pas bien pourquoi la longueur de la tangente aux deux sphères est constante : en fonction des cas, si la corde passe à l'extérieur ou à l'intérieur par exemple, la longueur sera différente non ? Cela m'amène une question : la tangente est bien toujours coplanaire à la droite qui relie les deux centres des sphères ?
Amicalement,
Kipgon -
Mon cher kipgon
Je déraille de plus en plus.
Tu as raison, une tangente commune à deux sphères n'a aucune raison de passer par l'un ou l'autre des deux centres d'homothétie et sa longueur n'a aucune raison d'être constante. Mon raisonnement tombe à l'eau
J'espère que Soland nous fournira une image-3D convaincante
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Que peut-on dire d'intéressant sur l'ensemble des droites tangentes à deux sphères? -
L'union des segments de tangente commune est un volume ayant un intérieur.
On est loin du cône (et du compte). Pour le voir :
De nombreux plans coupent les deux sphères en un cercle (souvent petit) chacune.
La tangente commune à ces cercles et contenue dans ce plan est tangente aux deux sphères. -
Bonjour à tous,
Je reviens à la charge :-) !
J'ai essayé l'idée de Soland, j'ai obtenu un système de 6 équations à 6 inconnues (les inconnus étant les 3 coordonnées des points U et V puisqu'une fois qu'on connait ces points, le problème est résolu). J'ai tenté de résoudre ce système avec Maxima (pour des points M et N quelconques) mais le calcul dure des heures avant de me dire que je n'ai pas suffisamment de RAM !
Ces 6 équations viennent de :
1) V appartient au plan AMU
2) U appartient au plan BNV
3) La tangente est perpendiculaire à AU
4) La tangente est perpendiculaire à BV
5) U appartient à la sphère de centre A
6) V appartient à la sphère de centre B
Est ce que vous auriez d'autres idées ? -
Bonjour,
une question qui est loin d'être évidente a priori.
Il n'est pas certain que les cercles qui minimisent le trajet de la corde soient sur des grands cercles des 2 sphères.
En revanche le segment qui reliera les points de contacts d'échappement de la corde sera sur une droite qui sera à l'intérieur du cône tangent au deux sphères
du moins lorsque les points de départs ne sont pas dans un plan passant par le centre des sphères.
C'est ma petite contribution.
@pappus, je vois pourquoi l'arc ne sera pas de classe C^2 mais comment justifies-tu qu'il ne sera pas de classe C^1 ? -
Bonjour,
Je n’ai pas encore démontré le cas de deux cercles dans le plan.
Deux points :
On se donne P et Q. La corde est le segment entre ces points.
Un cercle et un point :
On se donne P sur le cercle et un point Q (en dehors ou sur du cercle).
Si Q est sur le cercle, la corde est le plus petit arc entre P et Q. On a deux solutions si P et Q s’oppose diamétralement.
Si Q est en dehors du cercle :
On trace les tangentes au cercle passant par Q. Elles touchent le cercle aux points A et B.
Si P est dans l’arc entre A et B, la corde est le segment entre P et Q.
Si P est en dehors de l’arc entre A et B, la corde est le plus petit arc entre P et les points tangents (A ou
et le segment entre le point tangent et Q. On a deux solutions si la droite PQ contient le centre du cercle.
J’ai fait une démonstration géométrique de ces résultats.
Deux cercles :
On se donne P sur un cercle et P’ sur un autre cercle (qui ne coupe pas le premier cercle).
On trace les tangentes croisées aux deux cercles.
Si les points P et P’ sont à l’intérieurs des arcs définis par les tangentes croisées, alors la corde est la segment entre les points.
Et c’est là que ma démonstration s’arrête : si un des points est à l’extérieur de l’arc défini par les tangentes croisées, on a deux parcours possibles pour la corde : soit le long d’une tangent croisée soit le long d’une tangente non croisée/ extérieure. Je ne sais pas trouver géométriquement le minimum.
A continuer. -
On regarde d'abord si le segment pq coupe les disques.
Si aucun des deux n'est coupé le minimum est donné par le segment pq .
Si un des deux est coupé mais pas l'autre on a le cas illustré infra.
Si les deux sont coupés il faut regarder les quatre segments de tangente, compliqué.
Le graal serait de voir le graphe de la fonction bipériodique $\min(\alpha,\beta)$... -
Bonjour soland
ta figure est plane ?
ou bien dans l'espace, parce que le vrai souci c'est lorsque les 4 points ne sont pas coplanaires
car c'est peut être la que le chemin est minimal, (en tout cas rien n'indique que les 4 points interessants sont coplanaires ) -
Plane, en pensant à YvesM.
-
Bonjour à tous,
J'appelle "tangent" tout segment $[AB]$ tel que $A$ appartient à une sphère, $B$ à l'autre et la droite $(AB)$ est tangente aux deux sphères.
Le coton tige vert de Soland est un tangent.
Il me semble qu'on a deux types de tangents: les "intérieurs" (resp. les extérieurs) qui sont ceux tels qu'un plan du faisceau $(AB)$ intersecte la réunion des deux sphères selon deux cercles situés de part et d'autre (resp. du même côté) de $(AB)$,
Il y a les $TIP:= $"tangents intérieurs particuliers" qui sont portés par les génératrices du cône tangent aux deux sphères dont le sommet est le centre de l'homothétie négative et les $TEP$ := "tangents extérieurs particuliers" qui sont portés par les génératrices du cône tangent aux deux sphères dont le sommet est le centre de l'homothétie positive. Les $TIP$ ont tous la même longueur $:=LIP$. Les $TEP$ ont tous la même longueur $:=LEP$ et $LIP< LEP$
J'aimerais bien que la proposition suivante soit vraie:
La longueur des tangents intérieurs (resp. extérieurs) est minorée par $LIP$ (resp.$LEP$)..
$LIP$ (resp. $LEP$) est inférieure à la longueur de tout tangent intérieur (resp. extérieur).
J'ai une mauvaise vision de l'espace et vous voudrez bien me pardonner d'éventuelles énormités!
Amicalement
Paul
Edit -
Bonsoir
@ depasse Il n'est pas juste de dire que LIP est strictement Inférieure à LEP dans le cas où les deux sphères ont le même rayon et où les centres des sphères sont très éloignées, par exemple. (dans ce cas LIP est presque une hypoténuse et LEP est le deuxième grand côté de ce presque triangle rectangle)
mais où pourrait regarder ce qui se passe en particulier dans le cas où les sphères ont le même rayon pour l'affirmation bleue, ça a l'air plus simple.
ps: vous me direz avoir les sphères de même rayons rejette le centre de l'homothétie positive à l'infini (devenant une translation) , mais on peut encore s'arranger en réduisant le rayon d'une des sphères d'un epsilon. -
Je suppose que p et q sont chacun sur une sphère ( P, respectivement Q ) et que P$\cap$Q est vide.
Je note iP et iQ les intérieurs respectifs de P et Q.
Il y a trois cas selon le nombre $n$ d'intérieurs coupés par le segment [pq] , le cas $n=0$ est évident.
Cas $n=1$ ; on peut supposer que [pq] coupe iQ, mais pas iP.
Un chemin raisonnable se décompose en deux parties {pt} et {tq} où t est sa première rencontre avec Q .
(A montrer : il y a une première rencontre.)
Si le chemin est optimal, {pt} est le segment [pt] , sinon on pourrait le raccourcir en remplaçant {pt} par [pt] .
Arrivé en t , le chemin optimal ne quitte plus Q (à montrer).
Sur Q , le plus court chemin de t à q est le petit arc de grand cercle limité par t et q.
Le chemin optimal est "donc" composé d'un segment [pq] ne coupant pas iQ et d'un arc de grand cercle de Q .
A suivre
Cas $n=2$
Tout sous-chemin d'un chemin optimal est lui-même optimal.
Un chemin optimal de p à q se décompose "donc" en
un arc de grand cercle de P (ps) ,
un segment [st] ,
un arc de grand cercle de Q (tq) .
On raisonne sur les sous-chemins {pt} et {sq} .
A suivre -
Je pars de l'idée que dans le cas $n=1$ le chemin optimal appartient au plan qui contient p , q et le centre de Q .
D'où l'idée de chercher un plan (contenant p et le centre de P) et un plan (contenant q et le centre de Q) tels que leur intersection soit une tangente commune de P et Q .
Je vais rejoindre ma planche à dessin, ça donne des idées... -
Construction dans le cas $n=2$
On donne une sphère S1 de centre w1 passant par un point p1
et une sphère S2 de centre w2 passant par un point p2 .
S1 et S2 ne se coupent pas.
Le segment [p1 p2] coupe l'intérieur de S1 et aussi celui de S2 .
Pour construire le chemin le plus court de p1 à p2 évitant les intérieurs de S1 et S2 :
(1) construire les deux plans par w1 et p1 tangents à S2 , soit t21, t22 les points de contact.
(2) construire les deux plans par w2 et p2 tangents à S1 , soit t11, t12 les points de contact.
Le chemin cherché est composé de
un arc de grand cercle p1 t1i sur S1
le segment [t1i t2j]
un arc de grand cercle t2j p2 sur S2 .
i et j sont bien choisis...
P.S.
Un mathématicien peut être
esthète
visionnaire
inventeur de concepts
chercheur
trouveur
prouveur
critiqueur
communicateur
rédacteur
susciteur de talents
ETC, chacun son mix. -
Bonjour,
en tout cas la solution c'est un bâton ansé (mais peut-être avec torsion) à ses extrémités. -
@YvesM
Je n'ai pas dessine la soluion, mais traduit la donnée.
La solution est bien telle que tu la décris.
Mon dernier post décrit ce que je pense être la solution.
Il me manque des tas de preuves partielles.
Ma description précise ce que je veux prouver.
Pour le dessin, j'aurais dû préciser. -
Bonjour,
J’ai démontré que ta solution n’est pas optimale. Lis mon poste plus haut et ramène toi à deux cercles coplanaires disjoints. Ou alors je n’ai pas compris ta solution dans ce cas particulier. -
Bonjour à tous
Soland, je ne vois pas pourquoi ta droite $(p_1w_1)$ ne couperait pas ta sphère $S_2$. Si ta droite $(p_1w_1)$ coupe ta sphère $S_2$, on ne peut mener par elle un plan tangent à $S_2$.
Cordialement
Paul
Edit:Suite:
Il me semble qu'il y a consensus entre les participants à ce fil pour reconnaître que dans le cas non trivial,
à savoir "le cas des deux cercles", autrement dit, en utilisant les notations du dernier post de Soland, le cas où $[p_1p_2] $ intersecte $S_1\vee S_2 $ en quatre points distincts $p_1,q_1,q_2,p_2 $ alignés dans cet ordre:
$\bullet$ tout chemin de longueur minimale entre $p_1$ et $p_2$ est l'"aboutement" (concaténation ?) d'une géodésique $G_1$ de $S_1$ de longueur $g_1$ , d'un "tangent" $T$ à $S_1$ et $S_2$ (intérieur ou extérieur) de longueur $t$ et d'une géodésique $G_2$ de $S_2$ de longueur $g_2$.
$\bullet$$\bullet$ $G_1$ et $T$ sont coplanaires tout comme $T$ et $G_2$ mais, a priori, il n'y a pas de raison de supposer que tous les trois sont coplanaires. (je crois bien qu'ils ne sont qu'exceptionnellement coplanaires, autrement dit que le "bâton à deux anses" de callipigier admet, en général, une torsion).
Etes-vous d'accord qu'il y a ce consensus?
Enfin j'ai dit des sottises avec mes LIP et mes LEP et demain j'espère les corriger.
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