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Centre d'homothétie

Piteux_gorePiteux_gore
dans Géométrie
Bonjour,

Si deux figures planes homothétiques ont un axe de symétrie commun, peut-on en déduire que le centre d'homothétie appartient à cet axe ?

A+
Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)

Réponses

  • Math CossMath Coss
    Fixons un repère dans le plan. Notons $F_1$ la figure formée des points à coordonnées entières, $F_2$ la figure formée par les points dont les coordonnées $(x,y)$ sont demi-entières, c'est-à-dire que $2x\in\Z$ et $2y\in\Z$. La droite $x=0$ est un axe de symétrie commun des deux figures ; le point $(1/2,1/2)$ est le centre d'une homothétie qui envoie $F_2$ sur $F_1$ et qui n'appartient pas à l'axe.
  • DomDom
    Peut-être que l'on peut penser à restreindre les conditions en imposant que les deux figures sont bornées.

    Idée, comme ça, au zinc, sans davantage de réflexion...
  • Piteux_gorePiteux_gore
    RE

    Quid si les figures sont deux polygones ?

    A+
    Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)
  • callipigercallipiger
    Bonsoir,

    Le principe de symétrie de Curie (Pierre) dit que ça sera sur l'axe (en tout cas qu'il y en a un au moins)
    ou un théorème de Emily Emmy Noether ? (merci Math Coss)

    pour 2 polygones il y en a 2 au moins sur l'axe de symétrie si le polygone est régulier et que le nombre de côtés est pair:
    un centre qui sera le sommet d'un cône épointe contenant simultanément les deux polygones dans une composante connexe
    un centre qui sera le sommet d'un cône épointe séparant les deux polygones dans chaque composante connexe

    pour 2 polygones il y en a 1 au moins sur l'axe de symétrie si le polygone est régulier et que le nombre de côtés est impair:
    un centre qui sera le sommet d'un cône épointe contenant simultanément les deux polygones dans une composante connexe, (les points extrémaux ne sont pas à l'extrêmes des figures)
    pour l'autre cas ça ce fonctionne pas comme si dessus car l'homothétie est de rapport négatif
    un centre qui sera le sommet d'un cône épointe séparant les deux polygones dans chaque composante connexe
    (les points extrémaux sont à l'extrême des figures)

    mais ça ne répond pas à la question.
  • DomDom
    Une vague idée, comme ça, dans un cas particulier (en gras) :

    Si les deux figures $F$ et $F'$ ne possèdent chacune qu'un seul axe de symétrie $f$ et $f'$..
    Si de plus, cet $f=f'$.

    Alors l'image de $f$ par l'homothétie considérée est $f'$ et donc le centre de l'homothétie est bien un point de $f$.

    Réécriture :

    Si une figure $F$ possède un seul axe de symétrie $f$.
    S'il existe une homothétie qui transforme $F$ en $F'$ et que $f=f'$.

    Alors : $f$ passe par le centre de l'homothétie.
  • Math CossMath Coss
    Si $F$ et $F'$ sont les deux figures, si $h$ est une homothétie qui envoie $F'$ sur $F$ (i.e. $F=h(F')$) et $s$ une réflexion d'axe $D$ qui stabilise $F$, l'hypothèse $s(F)=F$ donne $sh^{-1}(F')=h^{-1}(F')$ et donc $hsh^{-1}$ est une réflexion qui stabilise $F'$. Or $hsh^{-1}$ est une réflexion d'axe $h(D)$ : c'est une droite parallèle à $D$ ; cette droite est confondue avec $D$ SSI le centre de $h$ appartient à $D$.

    Si $F$ et $F'$ sont finies (par exemple les sommets de polygones), leur isobarycentre est fixé par toute application affine qui les stabilise. Si $s$ et $hsh^{-1}$ sont deux réflexions qui stabilisent $F'$, les axes $D$ et $h(D)$ contiennent l'isobarycentre de $F'$ et donc le centre de $h$ appartient à l'axe de $D$.
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