Coniques à normales concourantes

poulbot
poulbot
dans Géométrie
Bonjour
Pour en remettre un tour sur ces coniques passant par $A,B,C$ pour lesquelles les normales en $A,B,C$ concourent, je propose ce qui suit, qui devrait intéresser nos super-calculateurs (Bouzar, Rescassol, …) et n'être pour eux qu'un jeu d'enfants.

Etant donné un triangle $ABC$, on désigne par $g$ la transformation isogonale par rapport à $ABC$,par $j$ la transformation isotomique par rapport à son triangle médian et par $\sigma $ la symétrie par rapport au centre $O$ de son cercle circonscrit.
$G$ est le centre de gravité de $ABC$, $K$ son point de Lemoine et $L=\sigma \left( H\right) $ son "point de Longchamps".

$\Gamma $ est une conique circonscrite à $ABC$, $\Omega $ son centre et $P$ son "perspecteur" (centre de perspective de $ABC$ et du triangle tangentiel de $\Gamma $).
Montrez que $j$ échange $P$ et $\Omega $.

On désigne par $c_{T}$ la Cubique de Thomson, lieu des points $M$ pour lesquels $M,g\left( M\right) ,G$ sont alignés.
Montrez que $c_{T}$ est aussi le lieu des points $M$ pour lesquels $M,j\left( M\right) ,K$ sont alignés.

Montrez que les normales à $\Gamma $ en $A,B,C$ sont concourantes si et seulement si $P\in c_{T}$.
Avec ce qui précède cela équivaut aussi à $\Omega \in c_{T}$ et également à $\Omega ,P,K$ alignés.

Montrez que dans ce cas, les normales en $A,B,C$ à $\Gamma $ concourent en $Q=OP\cap L\sigma \left( \Omega \right) $ et que ce point $Q$ est sur la Cubique de Darboux, lieu des points $M$ pour lesquels $M,g\left( M\right) ,L$ sont alignés ($O$ est centre de symétrie de cette cubique).

Remarque : Le nom donné à ces cubiques provient de l'exercice $735$ posé ICI en $1865$ par Thomson et de l'exercice $752$ posé ICI en $1866$ par Darboux. On voit que les résultats précédents ne datent pas de la dernière pluie.

Amicalement. Poulbot

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir

    Avec Morley circonscrit, la transformation isotomique par rapport au triangle médian est donnée par $j(z)=\dfrac{Njz}{Djz}$ avec: 
    Njz = 2*(-4*s1^2*s3+s1*s2^2+3*s2*s3)*z^2 + 8*s3*(s2^2-3*s1*s3)*z*zB + 2*s3^2*(s1*s2-9*s3)*zB^2 
      + (4*s1^3*s3-s1^2*s2^2+10*s1*s2*s3-4*s2^3-9*s3^2)*z + 4*s3*(2*s1^2*s3-s1*s2^2+3*s2*s3)*zB 
      +2*(-3*s1^2*s2*s3+s1*s2^3+3*s1*s3^2-s2^2*s3);
Djz = 4*(s2^2-3*s1*s3)*z^2 + 4*s3*(s1*s2-9*s3)*z*zB + 4*s3^2*(s1^2-3*s2)*zB^2 + 4*(2*s1^2*s3-s1*s2^2+3*s2*s3)*z 
      + 4*s3*(-s1^2*s2+3*s1*s3+2*s2^2)*zB + (s1^2*s2^2-10*s1*s2*s3+9*s3^2);
    Je définis la conique circonscrite $\Gamma$ comme étant l'isogonale d'une droite $\Delta$ par rapport au triangle $ABC$.
    Soit $M_0(t u)$ où $t$ est réel et $u$ de module $1$. $\Delta$ est la droite orthogonale à $(OU)$ passant par $M_0$.
    Le centre de $\Gamma$ est $\Omega(\omega)$ avec $\omega=\dfrac{tu^3 - s_1u^2 + s_2tu - s_3}{2u^2(t^2 - 1)}$
    Le perspecteur de $\Gamma$ est $P(p)$ avec $p=\dfrac{(s_1s_2-9s_3)u^2+4t(3s_1s_3-s_2^2)u+(s_1s_2^2-4s_1^2s_3+3s_2s_3)}{2((s_1^2-3s_2)u^2+t(9s_3-s_1s_2)u+(s_2^2-3s_1s_3))}$.
    On vérifie qu'on a bien $j(\omega)=p$.

    La suite à plus tard, dodo.
    Cordialement,
    Rescassol

    PS: Il faudra aussi que je revienne sur les parabole pour voir s'il n'y a vraiment pas moyen de relier la deltoïde à la concourance des normales.
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Rescassol

    Autant, Morley sera efficace pour la suite qui est plutôt métrique, autant une solution affine à cette question purement affine me semble plus indiquée.
    Soit $P=\left( p:q:r\right) $. Relativement au triangle médian, $P$ ayant pour coordonnées barycentriques $\left( X:Y:Z\right) $ où $X=q+r-p,...$, $j\left( P\right) $ a pour coordonnées barycentriques $\left( YZ,ZX,XY\right) $;
    d'où $j\left( P\right) =\left( ZX+XY:XY+YZ:YZ+ZX\right) =\left( p\left( q+r-p\right) :q\left( r+p-q\right) :r\left( p+q-r\right) \right) $.
    La polaire de $j\left( P\right) $ par rapport à $\Gamma $ d'équation $pyz+qzx+rxy=0$ étant la droite de l'$\infty $ $x+y+z=0$, on a bien $j\left( P\right) =\Omega $.

    Cela n'a rien à voir mais quelqu'un sait-il qui était ce fameux Thomson ? Je présume qu'il était anglais bien que s'exprimant en français dans les NAM.

    Bien cordialement. Poulbot
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    Pour illustrer les propos de Poulbot, j'ai retrouvé une de mes très vieilles figures qui ne respecte pas ses notations.
    La courbe rouge est la cubique de Darboux.
    A partir de celle là, je vais essayer de vérifier ses dires.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus87742
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Une équation complexe de la cubique de Thomson est:
    $3z^3 + s_2z^2\overline{z} - s_1s_3z\overline{z}^2 - 3s_3^2\overline{z}^3 - 4s_1z^2 + 4s_2s_3\overline{z}^2 + (s_1^2 + s_2)z - (s_2^2 + s_1s_3)\overline{z}=0$
    % Cubique de Thomson, lieu des points M tels que M,g(M),G soient alignés
% où g est l'isogonalité par rapport au triangle ABC

% Note: Le suffixe B signifie conjugué et s1,s2,s3 sont les fonctions symétriques 
% de a,b,c (sommets du triangle ABC).

syms z zB

[Z ZB]=TransfoIsogonale(s1,s2,s3,z,zB);

g=s1/3;    % Centre de gravité du triangle ABC
gB=s1B/3;

Mat=[Z ZB 1; z zB 1; g gB 1];
Thomson=Factor(det(Mat))

% On ne garde que la partie dépendant de z du numérateur:

Thomson=collect(s1^2*z - s1*s3*z*zB^2 - s1*s3*zB - 4*s1*z^2 - s2^2*zB + 4*s2*s3*zB^2 + s2*z^2*zB + s2*z - 3*s3^2*zB^3 + 3*z^3,[z zB])

% On trouve:

Thomson=3*z^3 + s2*z^2*zB - s1*s3*z*zB^2 - 3*s3^2*zB^3 - 4*s1*z^2 + 4*s2*s3*zB^2 + (s1^2 + s2)*z - (s2^2 + s1*s3)*zB;

%-------------------------------------------------------------------------

% La cubique de Thomson est également le lieu des points M tels que
% M,j(M),K soient alignés, où K est le point de Lemoine du triangle ABC

k=(2*s2^2-6*s1*s3)/(s1*s2-9*s3);
kB=(2*s2B^2-6*s1B*s3B)/(s1B*s2B-9*s3B);

Njz = 2*(-4*s1^2*s3+s1*s2^2+3*s2*s3)*z^2 + 8*s3*(s2^2-3*s1*s3)*z*zB + 2*s3^2*(s1*s2-9*s3)*zB^2 + (4*s1^3*s3-s1^2*s2^2+10*s1*s2*s3-4*s2^3-9*s3^2)*z + 4*s3*(2*s1^2*s3-s1*s2^2+3*s2*s3)*zB +2*(-3*s1^2*s2*s3+s1*s2^3+3*s1*s3^2-s2^2*s3);
Djz = 4*(s2^2-3*s1*s3)*z^2 + 4*s3*(s1*s2-9*s3)*z*zB + 4*s3^2*(s1^2-3*s2)*zB^2 + 4*(2*s1^2*s3-s1*s2^2+3*s2*s3)*z + 4*s3*(-s1^2*s2+3*s1*s3+2*s2^2)*zB + (s1^2*s2^2-10*s1*s2*s3+9*s3^2);

NjzB = 2*(-4*s1B^2*s3B+s1B*s2B^2+3*s2B*s3B)*zB^2 + 8*s3B*(s2B^2-3*s1B*s3B)*zB*z + 2*s3B^2*(s1B*s2B-9*s3B)*z^2 + (4*s1B^3*s3B-s1B^2*s2B^2+10*s1B*s2B*s3B-4*s2B^3-9*s3B^2)*zB + 4*s3B*(2*s1B^2*s3B-s1B*s2B^2+3*s2B*s3B)*z +2*(-3*s1B^2*s2B*s3B+s1B*s2B^3+3*s1B*s3B^2-s2B^2*s3B);
DjzB = 4*(s2B^2-3*s1B*s3B)*zB^2 + 4*s3B*(s1B*s2B-9*s3B)*zB*z + 4*s3B^2*(s1B^2-3*s2B)*z^2 + 4*(2*s1B^2*s3B-s1B*s2B^2+3*s2B*s3B)*zB + 4*s3B*(-s1B^2*s2B+3*s1B*s3B+2*s2B^2)*z + (s1B^2*s2B^2-10*s1B*s2B*s3B+9*s3B^2);

Mat=[z zB 1; Njz/Djz NjzB/DjzB 1; k kB 1];
Thom=Factor(det(Mat))

% On trouve pour la partie dépendant de z du numérateur:

Thom=- s1^2*z + s1*s3*z*zB^2 + s1*s3*zB + 4*s1*z^2 + s2^2*zB - 4*s2*s3*zB^2 - s2*z^2*zB - s2*z + 3*s3^2*zB^3 - 3*z^3;

NulThom=Factor(Thomson+Thom) % Égal à 0 donc c'est bon

    Cordialement,

    Rescassol
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour
    Pappus wrote : "A partir de celle là, je vais essayer de vérifier ses dires"
    C'est malheureusement ce que je craignais le plus.

    @Rescassol Ta méthode semble donner des calculs bien plus compliqués que ce que j'imaginais.
    Bon courage pour $Q=OP\cap L\sigma \left( \Omega \right) $.

    En l'occurrence, la méthode Bouzar donne des calculs très simples (c'est après que cela se complique).
    $c_{T}$ a pour équation $f\left( x,y,z\right) =0$ où $f\left( x,y,z\right) =\begin{vmatrix}x&a^{2}yz&1\\y&b^{2}zx &1\\z&c^{2}xy&1\end{vmatrix}=x\left( c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2}\right) +y\left( a^{2}z^{2}-c^{2}x^{2}\right) +z\left( b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}\right) $.
    Or $\begin{vmatrix}x&x\left( y+z-x\right) &a^{2} \\y&y\left( z+x-y\right)&b^{2} \\z&z\left( x+y-z\right)&c^{2}\end{vmatrix}=-2f\left( x,y,z\right) $; so $M,j\left( M\right) ,K$ sont alignés $\Longleftrightarrow M\in c_{T}$.

    PS : Je n'ai pas ajouté la perfide question subsidiaire posée par Darboux (voir le lien à la fin de mon premier message) :
    les normales en $A,B,C$ étant supposées concourantes, quel est le lieu du pied de la quatrième normale passant par leur point commun?
    On pourra y revenir plus tard car ce n'est pas vraiment du gâteau et je crains que les méthodes de Bouzar et de Morley himself aient un peu de mal.

    Bien cordialement. Poulbot
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Les normales à $\Gamma$ en $A,B,C$ sont concourantes si $P$ est sur la cubique de Thomson: 
    % L'équation de la conique circonscrite est:

EqCon=u^2*z^2 + 2*t*s3*u*z*zB + s3^2*zB^2 - (s1*u^2+s3)*z - s3*(u^2+s2)*zB + (s2*u^2-2*t*s3*u+s1*s3);

% On dédouble les termes en a pour avoir la tangente:

EqTgte=u^2*z*a + 2*t*s3*u*(aB*z+a*zB)/2 + s3^2*zB*aB - (s1*u^2+s3)*(z+a)/2 - s3*(u^2+s2)*(zB+aB)/2 + (s2*u^2-2*t*s3*u+s1*s3);

EqTgte=Factor(EqTgte*2)

EqTgte=collect(EqTgte,[z zB])

% On trouve:

Eqtgte=(a*u^2 - b*u^2 - c*u^2 - a*b*c + 2*b*c*t*u)*z + (- a^2*b^2*c - a^2*b*c^2 + 2*t*a^2*b*c*u + a*b^2*c^2 - a*b*c*u^2)*zB + a^2*b*c - a^2*u^2 + a*b^2*c + a*b*c^2 - 4*t*a*b*c*u + a*b*u^2 + a*c*u^2 - b^2*c^2 + b*c*u^2;

% D'où l'équation de la normale en A: pta z + qta zB +rta = 0 avec:

pta = a*u^2 - b*u^2 - c*u^2 - a*b*c + 2*b*c*t*u;
qta = a*b*c*(u^2 - 2*a*t*u + a*b + a*c - b*c);
rta = -(pta*a+qta*aB);

rta=Factor(rta)

% Ce qui donne:

rta = a^2*b*c - a^2*u^2 + a*b^2*c + a*b*c^2 - 4*t*a*b*c*u + a*b*u^2 + a*c*u^2 - b^2*c^2 + b*c*u^2;
rta=collect(rta,u)

% Donc:

pta = (a-b-c)*u^2 + 2*b*c*t*u - s3;
qta = s3*(u^2 - 2*a*t*u + a*(b+c)-b*c);
rta = (a-b)*(a-c)*(b*c-u^2);

% De même pour les deux autres normales:

ptb = (b-c-a)*u^2 + 2*c*a*t*u - s3;
qtb = s3*(u^2 - 2*b*t*u + b*(c+a)-c*a);
rtb = (b-c)*(b-a)*(c*a-u^2);

ptc = (c-a-b)*u^2 + 2*a*b*t*u - s3;
qtc = s3*(u^2 - 2*c*t*u + c*(a+b)-a*b);
rtc = (c-a)*(c-b)*(a*b-u^2);

% A quelle condition les normales sont elles concourante ?

Mat=[pta qta rta; ptb qtb rtb; ptc qtc rtc];
T=Factor(det(Mat))

% On ne garde que le facteur dépendant de z:

T=3*a^2*b^2*c*t*u - a^2*b^2*u^2 + 3*a^2*b*c^2*t*u - 4*a^2*b*c*t^2*u^2 - a^2*b*c*u^2 - a^2*c^2*u^2 + a^2*u^4 + 3*a*b^2*c^2*t*u - 4*a*b^2*c*t^2*u^2 - a*b^2*c*u^2 - 4*a*b*c^2*t^2*u^2 - a*b*c^2*u^2 + 3*a*b*c*t*u^3 - 3*s3*a*b*c + 4*a*b*t^2*u^4 + s3*a*b*t*u + 4*a*c*t^2*u^4 + s3*a*c*t*u - 4*a*t*u^5 + s3*a*u^2 - b^2*c^2*u^2 + b^2*u^4 + 4*b*c*t^2*u^4 + s3*b*c*t*u - 4*b*t*u^5 + s3*b*u^2 + c^2*u^4 - 4*c*t*u^5 + s3*c*u^2 - 3*s3*t*u^3 + 3*u^6;
T=FracSym(T,[a b c])
T=collect(T,u)

% On obtient:

T=3*u^6 + (-4*s1*t)*u^5 + (s1^2 + 4*s2*t^2 - 2*s2)*u^4 + (- s2^2 - 4*s1*s3*t^2 + 2*s1*s3)*u^2 + 4*s2*s3*t*u - 3*s3^2;

% A quelle condition P est il sur la cubique de Thomson ?

z=persp;
zB=perspB;

PT=3*z^3 + s2*z^2*zB - s1*s3*z*zB^2 - 3*s3^2*zB^3 - 4*s1*z^2 + 4*s2*s3*zB^2 + (s1^2 + s2)*z - (s2^2 + s1*s3)*zB;
PT=Factor(PT)

% On ne garde que le facteur dépendant de z:
 
PT=- s1^2*u^4 + 4*s1*s3*t^2*u^2 - 2*s1*s3*u^2 + 4*s1*t*u^5 + s2^2*u^2 - 4*s2*s3*t*u - 4*s2*t^2*u^4 + 2*s2*u^4 + 3*s3^2 - 3*u^6;
PT=collect(PT,u)

% On obtient;

PT= - 3*u^6 + 4*s1*t*u^5 + (- s1^2 - 4*s2*t^2 + 2*s2)*u^4 + (s2^2 + 4*s1*s3*t^2 - 2*s1*s3)*u^2 + (-4*s2*s3*t)*u + 3*s3^2

% On constate que T=-PT, c'est la même condition

    Je vais m'attaquer au point $Q$.

    Cordialement,

    Rescassol

    Edit: Une erreur sur les normales corrigée
  • poulbot
    poulbot
    Re-bonjour Rescassol et merci
    La méthode de Bouzar nécessite une bonne technique de calculs barycentriques, lesquels commencent d'ailleurs à se compliquer, surtout pour le déterminant final.
    As usual, $S_{A}=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\Delta \cot \widehat{A}$ où $\Delta $ est l'aire de $ABC$, ...

    La tangente en $A$ à $\Gamma $ ayant pour équation $ry+qz=0$, la normale en $A$ a pour équation
    $n_{A}\left( x,y,z\right) =\left( c^{2}q-S_{A}r\right) y-\left( b^{2}r-S_{A}q\right) z=0$. De même
    $n_{B}\left( x,y,z\right) =\left( a^{2}r-S_{B}p\right) z-\left( c^{2}p-S_{B}r\right) x=0$
    $n_{C}\left( x,y,z\right) =\left( b^{2}p-S_{C}q\right) x-\left( a^{2}r-S_{C}p\right) y=0$
    et $\dfrac{D\left( n_{A},n_{B},n_{C}\right) }{D\left( x,y,z\right) }=4\Delta ^{2}c_{T}\left( p,q,r\right) $ . Ainsi, les $3$ normales concourent $\Longleftrightarrow P\in c_{T}$.
    La restriction de $j$ à $c_{T}$ étant une transformation involutive de $c_{T}$, cela équivaut à $\Omega \in c_{T}$ (et aussi à $\Omega ,P,K$ alignés).
    Bien cordialement. Poulbot
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonne nuit,

    Une équation complexe de la cubique de Darboux est:
    $z^3-s_2z^2\overline{z}+s_1s_3z\overline{z}^2-s_3^2\overline{z}^3-(s_1^2-3s_2)z+(s_2^2-3s_1s_3)\overline{z}=0$
    Ça se complique un peu:
    % Droite (OP)

pop=perspB;
qop=-persp;
rop=0;

% Droite (L sigma(Omega)) L(-s1) et sigma(Omega) (-centre)

[plo qlo rlo]=DroiteDeuxPoints(-s1,-centre,-s1B,-centreB);

F=1;

plo=Factor(F*plo)
qlo=Factor(F*qlo)
rlo=Factor(F*rlo)

% Point d'intersection des deux droites

[q qB]=IntersectionDeuxDroites(pop,qop,rop,plo,qlo,rlo);

q=Factor(q)

% On trouve:

Numq=-(t*s1^2*u^3 - s1*u^4 + s3*t*s1*u - t*s2^2*u - t*s2*u^3 + s3*s2)*(- 4*s3*s1^2 + s1*s2^2 + s1*s2*u^2 + 12*s3*t*s1*u - 4*t*s2^2*u + 3*s3*s2 - 9*s3*u^2);
Denq=2*s1^3*s2*t^2*u^4 - s1^3*s2*u^4 - 8*s1^3*s3*t^3*u^3 + 14*s1^2*s2*s3*t^2*u^2 - 4*s1^2*s2*s3*u^2 - 8*s1^2*s3^2*t*u + 22*s1^2*s3*t^2*u^4 + s1^2*s3*u^4 - 2*s1*s2^3*t^2*u^2 + s1*s2^3*u^2 - 14*s1*s2^2*t^2*u^4 + 4*s1*s2^2*u^4 + s1*s2*s3^2 - s1*s2*u^6 - 6*s1*s3^2*t^2*u^2 + 12*s1*s3^2*u^2 - 24*s1*s3*t*u^5 + 8*s2^3*t^3*u^3 - 22*s2^2*s3*t^2*u^2 - s2^2*s3*u^2 + 8*s2^2*t*u^5 + 24*s2*s3^2*t*u + 6*s2*s3*t^2*u^4 - 12*s2*s3*u^4 - 9*s3^3 + 9*s3*u^6);

q=Numq/Denq;

% Q est il sur la cubique de Darboux ?

z=q;
zB=qB;

NulQ=Factor(z^3-s2*z^2*zB+s1*s3*z*zB^2-s3^2*zB^3-(s1^2-3*s2)*z+(s2^2-3*s1*s3)*zB)

% En ne conservant que ce qui dépend de u au numérateur, on obtient 4 facteurs:

F1=t*s1^2*u^3 - s1*u^4 + s3*t*s1*u - t*s2^2*u - t*s2*u^3 + s3*s2;
F2=- s1^2*u^4 + 4*s1*s3*t^2*u^2 - 2*s1*s3*u^2 + 4*s1*t*u^5 + s2^2*u^2 - 4*s2*s3*t*u - 4*s2*t^2*u^4 + 2*s2*u^4 + 3*s3^2 - 3*u^6;
F3=- s1^3*s2*u^2 + 4*t*s1^3*s3*u - 5*s1^2*s2*s3 - 3*s1^2*s3*u^2 + s1*s2^3 + 5*s1*s2^2*u^2 + 9*s1*s3^2 - 4*t*s2^3*u + 3*s2^2*s3 - 9*s2*s3*u^2;
F4=s1^3*s2*t^2*u^4 - 4*s1^3*s3*t^3*u^3 + 5*s1^2*s2*s3*t^2*u^2 - s1^2*s2*s3*u^2 - 2*s1^2*s2*t*u^5 - 4*s1^2*s3^2*t*u + 11*s1^2*s3*t^2*u^4 - s1*s2^3*t^2*u^2 + 2*s1*s2^2*s3*t*u - 5*s1*s2^2*t^2*u^4 + s1*s2^2*u^4 - s1*s2*s3^2 + s1*s2*u^6 - s1*s3^2*t^2*u^2 + 5*s1*s3^2*u^2 - 10*s1*s3*t*u^5 + 4*s2^3*t^3*u^3 - 11*s2^2*s3*t^2*u^2 + 4*s2^2*t*u^5 + 10*s2*s3^2*t*u + s2*s3*t^2*u^4 - 5*s2*s3*u^4 - 3*s3^3 + 3*s3*u^6;

NulF2=Factor(T+F2) % Égal à 0

% Donc T=0 entraîne NulQ=0
% Si les normales concourent, alors le point d'intersection Q des
% droites (OP) (L sigma(Omega)) est sur la cubique de Darboux

% Q est il sur la normale en A à la conique ?

Nula=Factor(pta*q+qta*qB+rta)

s1=a+b+c; 
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

Nula=(2*a^2*b*c*s1^3*s2*t^2*u^4 - a^2*b*c*s1^3*s2*u^4 - 8*a^2*b*c*s1^3*s3*t^3*u^3 + 14*a^2*b*c*s1^2*s2*s3*t^2*u^2 - 4*a^2*b*c*s1^2*s2*s3*u^2 - 8*a^2*b*c*s1^2*s3^2*t*u + 22*a^2*b*c*s1^2*s3*t^2*u^4 + a^2*b*c*s1^2*s3*u^4 - 2*a^2*b*c*s1*s2^3*t^2*u^2 + a^2*b*c*s1*s2^3*u^2 - 14*a^2*b*c*s1*s2^2*t^2*u^4 + 4*a^2*b*c*s1*s2^2*u^4 + a^2*b*c*s1*s2*s3^2 - a^2*b*c*s1*s2*u^6 - 6*a^2*b*c*s1*s3^2*t^2*u^2 + 12*a^2*b*c*s1*s3^2*u^2 - 24*a^2*b*c*s1*s3*t*u^5 + 8*a^2*b*c*s2^3*t^3*u^3 - 22*a^2*b*c*s2^2*s3*t^2*u^2 - a^2*b*c*s2^2*s3*u^2 + 8*a^2*b*c*s2^2*t*u^5 + 24*a^2*b*c*s2*s3^2*t*u + 6*a^2*b*c*s2*s3*t^2*u^4 - 12*a^2*b*c*s2*s3*u^4 - 9*a^2*b*c*s3^3 + 9*a^2*b*c*s3*u^6 - 2*a^2*s1^3*s2*t^2*u^6 + a^2*s1^3*s2*u^6 + 8*a^2*s1^3*s3*t^3*u^5 - 14*a^2*s1^2*s2*s3*t^2*u^4 + 4*a^2*s1^2*s2*s3*u^4 + 8*a^2*s1^2*s3^2*t*u^3 - 22*a^2*s1^2*s3*t^2*u^6 - a^2*s1^2*s3*u^6 + 2*a^2*s1*s2^3*t^2*u^4 - a^2*s1*s2^3*u^4 + 14*a^2*s1*s2^2*t^2*u^6 - 4*a^2*s1*s2^2*u^6 - a^2*s1*s2*s3^2*u^2 + a^2*s1*s2*u^8 + 6*a^2*s1*s3^2*t^2*u^4 - 12*a^2*s1*s3^2*u^4 + 24*a^2*s1*s3*t*u^7 - 8*a^2*s2^3*t^3*u^5 + 22*a^2*s2^2*s3*t^2*u^4 + a^2*s2^2*s3*u^4 - 8*a^2*s2^2*t*u^7 - 24*a^2*s2*s3^2*t*u^3 - 6*a^2*s2*s3*t^2*u^6 + 12*a^2*s2*s3*u^6 + 9*a^2*s3^3*u^2 - 9*a^2*s3*u^8 - 2*a*b^2*c*s1^3*s2*t^2*u^4 + a*b^2*c*s1^3*s2*u^4 + 8*a*b^2*c*s1^3*s3*t^3*u^3 - 14*a*b^2*c*s1^2*s2*s3*t^2*u^2 + 4*a*b^2*c*s1^2*s2*s3*u^2 + 8*a*b^2*c*s1^2*s3^2*t*u - 22*a*b^2*c*s1^2*s3*t^2*u^4 - a*b^2*c*s1^2*s3*u^4 + 2*a*b^2*c*s1*s2^3*t^2*u^2 - a*b^2*c*s1*s2^3*u^2 + 14*a*b^2*c*s1*s2^2*t^2*u^4 - 4*a*b^2*c*s1*s2^2*u^4 - a*b^2*c*s1*s2*s3^2 + a*b^2*c*s1*s2*u^6 + 6*a*b^2*c*s1*s3^2*t^2*u^2 - 12*a*b^2*c*s1*s3^2*u^2 + 24*a*b^2*c*s1*s3*t*u^5 - 8*a*b^2*c*s2^3*t^3*u^3 + 22*a*b^2*c*s2^2*s3*t^2*u^2 + a*b^2*c*s2^2*s3*u^2 - 8*a*b^2*c*s2^2*t*u^5 - 24*a*b^2*c*s2*s3^2*t*u - 6*a*b^2*c*s2*s3*t^2*u^4 + 12*a*b^2*c*s2*s3*u^4 + 9*a*b^2*c*s3^3 - 9*a*b^2*c*s3*u^6 - 2*a*b*c^2*s1^3*s2*t^2*u^4 + a*b*c^2*s1^3*s2*u^4 + 8*a*b*c^2*s1^3*s3*t^3*u^3 - 14*a*b*c^2*s1^2*s2*s3*t^2*u^2 + 4*a*b*c^2*s1^2*s2*s3*u^2 + 8*a*b*c^2*s1^2*s3^2*t*u - 22*a*b*c^2*s1^2*s3*t^2*u^4 - a*b*c^2*s1^2*s3*u^4 + 2*a*b*c^2*s1*s2^3*t^2*u^2 - a*b*c^2*s1*s2^3*u^2 + 14*a*b*c^2*s1*s2^2*t^2*u^4 - 4*a*b*c^2*s1*s2^2*u^4 - a*b*c^2*s1*s2*s3^2 + a*b*c^2*s1*s2*u^6 + 6*a*b*c^2*s1*s3^2*t^2*u^2 - 12*a*b*c^2*s1*s3^2*u^2 + 24*a*b*c^2*s1*s3*t*u^5 - 8*a*b*c^2*s2^3*t^3*u^3 + 22*a*b*c^2*s2^2*s3*t^2*u^2 + a*b*c^2*s2^2*s3*u^2 - 8*a*b*c^2*s2^2*t*u^5 - 24*a*b*c^2*s2*s3^2*t*u - 6*a*b*c^2*s2*s3*t^2*u^4 + 12*a*b*c^2*s2*s3*u^4 + 9*a*b*c^2*s3^3 - 9*a*b*c^2*s3*u^6 - a*b*s1^4*s2*t*u^5 + 4*a*b*s1^4*s3*t^2*u^4 - 2*a*b*s1^3*s2*s3*t*u^3 + 2*a*b*s1^3*s2*t^2*u^6 + 4*a*b*s1^3*s3^2*t^2*u^2 - 8*a*b*s1^3*s3*t^3*u^5 - 7*a*b*s1^3*s3*t*u^5 + a*b*s1^2*s2^3*t*u^3 - 4*a*b*s1^2*s2^2*s3*t^2*u^2 - a*b*s1^2*s2^2*s3*u^2 + 5*a*b*s1^2*s2^2*t*u^5 + 3*a*b*s1^2*s2*s3^2*t*u - 2*a*b*s1^2*s2*s3*t^2*u^4 - 3*a*b*s1^2*s2*s3*u^4 - 2*a*b*s1^2*s3^2*t*u^3 + 22*a*b*s1^2*s3*t^2*u^6 + 4*a*b*s1^2*s3*u^6 + a*b*s1*s2^3*s3*t*u - 2*a*b*s1*s2^3*t^2*u^4 + a*b*s1*s2^3*u^4 - a*b*s1*s2^2*s3^2 + 8*a*b*s1*s2^2*s3*t*u^3 - 14*a*b*s1*s2^2*t^2*u^6 - 12*a*b*s1*s2*s3^2*t^2*u^2 - 2*a*b*s1*s2*s3^2*u^2 + 15*a*b*s1*s2*s3*t*u^5 - a*b*s1*s2*u^8 + 9*a*b*s1*s3^3*t*u - 6*a*b*s1*s3^2*t^2*u^4 + 3*a*b*s1*s3^2*u^4 - 24*a*b*s1*s3*t*u^7 - 4*a*b*s2^4*t*u^3 + 12*a*b*s2^3*s3*t^2*u^2 + 4*a*b*s2^3*s3*u^2 + 8*a*b*s2^3*t^3*u^5 - 4*a*b*s2^3*t*u^5 - 21*a*b*s2^2*s3^2*t*u - 10*a*b*s2^2*s3*t^2*u^4 - a*b*s2^2*s3*u^4 + 8*a*b*s2^2*t*u^7 + 9*a*b*s2*s3^3 + 15*a*b*s2*s3^2*t*u^3 + 6*a*b*s2*s3*t^2*u^6 - 12*a*b*s2*s3*u^6 - 9*a*b*s3^3*u^2 + 9*a*b*s3*u^8 - a*c*s1^4*s2*t*u^5 + 4*a*c*s1^4*s3*t^2*u^4 - 2*a*c*s1^3*s2*s3*t*u^3 + 2*a*c*s1^3*s2*t^2*u^6 + 4*a*c*s1^3*s3^2*t^2*u^2 - 8*a*c*s1^3*s3*t^3*u^5 - 7*a*c*s1^3*s3*t*u^5 + a*c*s1^2*s2^3*t*u^3 - 4*a*c*s1^2*s2^2*s3*t^2*u^2 - a*c*s1^2*s2^2*s3*u^2 + 5*a*c*s1^2*s2^2*t*u^5 + 3*a*c*s1^2*s2*s3^2*t*u - 2*a*c*s1^2*s2*s3*t^2*u^4 - 3*a*c*s1^2*s2*s3*u^4 - 2*a*c*s1^2*s3^2*t*u^3 + 22*a*c*s1^2*s3*t^2*u^6 + 4*a*c*s1^2*s3*u^6 + a*c*s1*s2^3*s3*t*u - 2*a*c*s1*s2^3*t^2*u^4 + a*c*s1*s2^3*u^4 - a*c*s1*s2^2*s3^2 + 8*a*c*s1*s2^2*s3*t*u^3 - 14*a*c*s1*s2^2*t^2*u^6 - 12*a*c*s1*s2*s3^2*t^2*u^2 - 2*a*c*s1*s2*s3^2*u^2 + 15*a*c*s1*s2*s3*t*u^5 - a*c*s1*s2*u^8 + 9*a*c*s1*s3^3*t*u - 6*a*c*s1*s3^2*t^2*u^4 + 3*a*c*s1*s3^2*u^4 - 24*a*c*s1*s3*t*u^7 - 4*a*c*s2^4*t*u^3 + 12*a*c*s2^3*s3*t^2*u^2 + 4*a*c*s2^3*s3*u^2 + 8*a*c*s2^3*t^3*u^5 - 4*a*c*s2^3*t*u^5 - 21*a*c*s2^2*s3^2*t*u - 10*a*c*s2^2*s3*t^2*u^4 - a*c*s2^2*s3*u^4 + 8*a*c*s2^2*t*u^7 + 9*a*c*s2*s3^3 + 15*a*c*s2*s3^2*t*u^3 + 6*a*c*s2*s3*t^2*u^6 - 12*a*c*s2*s3*u^6 - 9*a*c*s3^3*u^2 + 9*a*c*s3*u^8 + 2*a*s1^4*s2*t^2*u^6 - 8*a*s1^4*s3*t^3*u^5 + 4*a*s1^4*s3*t*u^5 - a*s1^3*s2^2*t*u^5 + 4*a*s1^3*s2*s3*t^2*u^4 - 3*a*s1^3*s2*t*u^7 - 8*a*s1^3*s3^2*t^3*u^3 + 4*a*s1^3*s3^2*t*u^3 + 2*a*s1^3*s3*t^2*u^6 - 4*a*s1^3*s3*u^6 - 2*a*s1^2*s2^3*t^2*u^4 + 8*a*s1^2*s2^2*s3*t^3*u^3 - 3*a*s1^2*s2^2*s3*t*u^3 - 6*a*s1^2*s2^2*t^2*u^6 + a*s1^2*s2^2*u^6 - 6*a*s1^2*s2*s3^2*t^2*u^2 + 4*a*s1^2*s2*s3^2*u^2 + 32*a*s1^2*s2*s3*t^3*u^5 - 10*a*s1^2*s2*s3*t*u^5 + a*s1^2*s2*u^8 - 24*a*s1^2*s3^2*t^2*u^4 + 15*a*s1^2*s3*t*u^7 + a*s1*s2^4*t*u^3 - 2*a*s1*s2^3*s3*t^2*u^2 - a*s1*s2^3*s3*u^2 + 2*a*s1*s2^3*t*u^5 + 2*a*s1*s2^2*s3^2*t*u - a*s1*s2^2*s3*u^4 + 5*a*s1*s2^2*t*u^7 + 24*a*s1*s2*s3^2*t^3*u^3 - 9*a*s1*s2*s3^2*t*u^3 - 18*a*s1*s2*s3*t^2*u^6 + 3*a*s1*s2*s3*u^6 - 18*a*s1*s3^3*t^2*u^2 + 27*a*s1*s3^2*t*u^5 - 9*a*s1*s3*u^8 + 4*a*s2^4*t^2*u^4 - 24*a*s2^3*s3*t^3*u^3 - a*s2^3*s3*t*u^3 + 4*a*s2^3*t^2*u^6 + 42*a*s2^2*s3^2*t^2*u^2 - 3*a*s2^2*s3^2*u^2 - 24*a*s2^2*s3*t^3*u^5 - 6*a*s2^2*s3*t*u^5 - 18*a*s2*s3^3*t*u + 18*a*s2*s3^2*t^2*u^4 + 9*a*s2*s3^2*u^4 - 9*a*s2*s3*t*u^7 + 2*b^2*c^2*s1^3*s2*t^2*u^4 - b^2*c^2*s1^3*s2*u^4 - 8*b^2*c^2*s1^3*s3*t^3*u^3 + 14*b^2*c^2*s1^2*s2*s3*t^2*u^2 - 4*b^2*c^2*s1^2*s2*s3*u^2 - 8*b^2*c^2*s1^2*s3^2*t*u + 22*b^2*c^2*s1^2*s3*t^2*u^4 + b^2*c^2*s1^2*s3*u^4 - 2*b^2*c^2*s1*s2^3*t^2*u^2 + b^2*c^2*s1*s2^3*u^2 - 14*b^2*c^2*s1*s2^2*t^2*u^4 + 4*b^2*c^2*s1*s2^2*u^4 + b^2*c^2*s1*s2*s3^2 - b^2*c^2*s1*s2*u^6 - 6*b^2*c^2*s1*s3^2*t^2*u^2 + 12*b^2*c^2*s1*s3^2*u^2 - 24*b^2*c^2*s1*s3*t*u^5 + 8*b^2*c^2*s2^3*t^3*u^3 - 22*b^2*c^2*s2^2*s3*t^2*u^2 - b^2*c^2*s2^2*s3*u^2 + 8*b^2*c^2*s2^2*t*u^5 + 24*b^2*c^2*s2*s3^2*t*u + 6*b^2*c^2*s2*s3*t^2*u^4 - 12*b^2*c^2*s2*s3*u^4 - 9*b^2*c^2*s3^3 + 9*b^2*c^2*s3*u^6 + b*c*s1^4*s2*t*u^5 + 4*b*c*s1^4*s3*t^2*u^4 - 2*b*c*s1^3*s2^2*t^2*u^4 + 2*b*c*s1^3*s2*s3*t*u^3 - 4*b*c*s1^3*s2*t^2*u^6 + 4*b*c*s1^3*s3^2*t^2*u^2 - 16*b*c*s1^3*s3*t^3*u^5 - b*c*s1^3*s3*t*u^5 - b*c*s1^2*s2^3*t*u^3 - 6*b*c*s1^2*s2^2*s3*t^2*u^2 + b*c*s1^2*s2^2*s3*u^2 + 8*b*c*s1^2*s2^2*t^3*u^5 - 3*b*c*s1^2*s2^2*t*u^5 + 5*b*c*s1^2*s2*s3^2*t*u - 14*b*c*s1^2*s2*s3*t^2*u^4 + 3*b*c*s1^2*s2*s3*u^4 + 2*b*c*s1^2*s2*t*u^7 - 24*b*c*s1^2*s3^2*t^3*u^3 + 2*b*c*s1^2*s3^2*t*u^3 + 20*b*c*s1^2*s3*t^2*u^6 - 4*b*c*s1^2*s3*u^6 + 2*b*c*s1*s2^4*t^2*u^2 - 3*b*c*s1*s2^3*s3*t*u + 6*b*c*s1*s2^3*t^2*u^4 - b*c*s1*s2^3*u^4 + b*c*s1*s2^2*s3^2 + 32*b*c*s1*s2^2*s3*t^3*u^3 - 10*b*c*s1*s2^2*s3*t*u^3 + 8*b*c*s1*s2^2*t^2*u^6 - 18*b*c*s1*s2*s3^2*t^2*u^2 + 2*b*c*s1*s2*s3^2*u^2 + 24*b*c*s1*s2*s3*t^3*u^5 - 9*b*c*s1*s2*s3*t*u^5 + b*c*s1*s2*u^8 - 9*b*c*s1*s3^3*t*u + 24*b*c*s1*s3^2*t^2*u^4 - 3*b*c*s1*s3^2*u^4 + 6*b*c*s1*s3*t*u^7 - 8*b*c*s2^4*t^3*u^3 + 4*b*c*s2^4*t*u^3 + 2*b*c*s2^3*s3*t^2*u^2 - 4*b*c*s2^3*s3*u^2 - 16*b*c*s2^3*t^3*u^5 + 4*b*c*s2^3*t*u^5 + 15*b*c*s2^2*s3^2*t*u - 2*b*c*s2^2*s3*t^2*u^4 + b*c*s2^2*s3*u^4 - 8*b*c*s2^2*t*u^7 - 9*b*c*s2*s3^3 + 3*b*c*s2*s3^2*t*u^3 - 24*b*c*s2*s3*t^2*u^6 + 12*b*c*s2*s3*u^6 + 9*b*c*s3^3*u^2 - 9*b*c*s3*u^8 - 4*b*s1^4*s3*t*u^5 + b*s1^3*s2^2*t*u^5 + b*s1^3*s2*t*u^7 - 4*b*s1^3*s3^2*t*u^3 + 12*b*s1^3*s3*t^2*u^6 + 4*b*s1^3*s3*u^6 + 5*b*s1^2*s2^2*s3*t*u^3 - 4*b*s1^2*s2^2*t^2*u^6 - b*s1^2*s2^2*u^6 - 4*b*s1^2*s2*s3^2*u^2 + 8*b*s1^2*s2*s3*t*u^5 - b*s1^2*s2*u^8 + 12*b*s1^2*s3^2*t^2*u^4 - 21*b*s1^2*s3*t*u^7 - b*s1*s2^4*t*u^3 + b*s1*s2^3*s3*u^2 - 2*b*s1*s2^3*t*u^5 - 16*b*s1*s2^2*s3*t^2*u^4 + b*s1*s2^2*s3*u^4 + 3*b*s1*s2^2*t*u^7 + 15*b*s1*s2*s3^2*t*u^3 - 12*b*s1*s2*s3*t^2*u^6 - 3*b*s1*s2*s3*u^6 - 9*b*s1*s3^2*t*u^5 + 9*b*s1*s3*u^8 + 4*b*s2^4*t^2*u^4 - 7*b*s2^3*s3*t*u^3 + 4*b*s2^3*t^2*u^6 + 3*b*s2^2*s3^2*u^2 + 6*b*s2^2*s3*t*u^5 - 9*b*s2*s3^2*u^4 + 9*b*s2*s3*t*u^7 - 4*c*s1^4*s3*t*u^5 + c*s1^3*s2^2*t*u^5 + c*s1^3*s2*t*u^7 - 4*c*s1^3*s3^2*t*u^3 + 12*c*s1^3*s3*t^2*u^6 + 4*c*s1^3*s3*u^6 + 5*c*s1^2*s2^2*s3*t*u^3 - 4*c*s1^2*s2^2*t^2*u^6 - c*s1^2*s2^2*u^6 - 4*c*s1^2*s2*s3^2*u^2 + 8*c*s1^2*s2*s3*t*u^5 - c*s1^2*s2*u^8 + 12*c*s1^2*s3^2*t^2*u^4 - 21*c*s1^2*s3*t*u^7 - c*s1*s2^4*t*u^3 + c*s1*s2^3*s3*u^2 - 2*c*s1*s2^3*t*u^5 - 16*c*s1*s2^2*s3*t^2*u^4 + c*s1*s2^2*s3*u^4 + 3*c*s1*s2^2*t*u^7 + 15*c*s1*s2*s3^2*t*u^3 - 12*c*s1*s2*s3*t^2*u^6 - 3*c*s1*s2*s3*u^6 - 9*c*s1*s3^2*t*u^5 + 9*c*s1*s3*u^8 + 4*c*s2^4*t^2*u^4 - 7*c*s2^3*s3*t*u^3 + 4*c*s2^3*t^2*u^6 + 3*c*s2^2*s3^2*u^2 + 6*c*s2^2*s3*t*u^5 - 9*c*s2*s3^2*u^4 + 9*c*s2*s3*t*u^7 - s1^4*s2*t*u^7 - 4*s1^4*s3^2*t*u^3 + 4*s1^4*s3*t^2*u^6 + s1^3*s2^2*s3*t*u^3 - s1^3*s2*s3*t*u^5 + s1^3*s2*u^8 - 4*s1^3*s3^3*t*u + 16*s1^3*s3^2*t^2*u^4 + 4*s1^3*s3^2*u^4 - 7*s1^3*s3*t*u^7 + s1^2*s2^3*t*u^5 + 5*s1^2*s2^2*s3^2*t*u - 8*s1^2*s2^2*s3*t^2*u^4 - 2*s1^2*s2^2*s3*u^4 + 5*s1^2*s2^2*t*u^7 - 4*s1^2*s2*s3^3 + 11*s1^2*s2*s3^2*t*u^3 - 16*s1^2*s2*s3*t^2*u^6 + 12*s1^2*s3^3*t^2*u^2 - 15*s1^2*s3^2*t*u^5 + 3*s1^2*s3*u^8 - s1*s2^4*s3*t*u + s1*s2^3*s3^2 - s1*s2^3*s3*t*u^3 - 16*s1*s2^2*s3^2*t^2*u^2 + 11*s1*s2^2*s3*t*u^5 - 4*s1*s2^2*u^8 + 15*s1*s2*s3^3*t*u - 24*s1*s2*s3^2*t^2*u^4 - 6*s1*s2*s3^2*u^4 + 15*s1*s2*s3*t*u^7 + 4*s2^4*s3*t^2*u^2 - 4*s2^4*t*u^5 - 7*s2^3*s3^2*t*u + 16*s2^3*s3*t^2*u^4 + 4*s2^3*s3*u^4 - 4*s2^3*t*u^7 + 3*s2^2*s3^3 - 15*s2^2*s3^2*t*u^3 + 12*s2^2*s3*t^2*u^6)/(2*s1^3*s2*t^2*u^4 - s1^3*s2*u^4 - 8*s1^3*s3*t^3*u^3 + 14*s1^2*s2*s3*t^2*u^2 - 4*s1^2*s2*s3*u^2 - 8*s1^2*s3^2*t*u + 22*s1^2*s3*t^2*u^4 + s1^2*s3*u^4 - 2*s1*s2^3*t^2*u^2 + s1*s2^3*u^2 - 14*s1*s2^2*t^2*u^4 + 4*s1*s2^2*u^4 + s1*s2*s3^2 - s1*s2*u^6 - 6*s1*s3^2*t^2*u^2 + 12*s1*s3^2*u^2 - 24*s1*s3*t*u^5 + 8*s2^3*t^3*u^3 - 22*s2^2*s3*t^2*u^2 - s2^2*s3*u^2 + 8*s2^2*t*u^5 + 24*s2*s3^2*t*u + 6*s2*s3*t^2*u^4 - 12*s2*s3*u^4 - 9*s3^3 + 9*s3*u^6);

Nula=Factor(Nula)
 
% En ne conservant que ce qui dépend de u au numérateur, on obtient 2 facteurs:

A1=- a^2*b^2*c + 2*t*a^2*b^2*u - a^2*b*c^2 - a^2*b*u^2 + 2*t*a^2*c^2*u - a^2*c*u^2 + a*b^3*c - 2*a*b^2*c^2 - a*b^2*u^2 + a*b*c^3 + 2*a*b*c*u^2 - a*c^2*u^2 + b^3*c^2 - 2*t*b^3*c*u + b^2*c^3 + b^2*c*u^2 - 2*t*b*c^3*u + b*c^2*u^2;
A2=- 3*a^2*b^2*c^2 + 4*a^2*b^2*c*t*u - a^2*b^2*u^2 + 4*a^2*b*c^2*t*u - 4*a^2*b*c*t^2*u^2 - a^2*c^2*u^2 + a^2*u^4 + 4*a*b^2*c^2*t*u - 4*a*b^2*c*t^2*u^2 - 4*a*b*c^2*t^2*u^2 + 4*a*b*t^2*u^4 + 4*a*c*t^2*u^4 - 4*a*t*u^5 - b^2*c^2*u^2 + b^2*u^4 + 4*b*c*t^2*u^4 - 4*b*t*u^5 + c^2*u^4 - 4*c*t*u^5 + 3*u^6;

A1=FracSym(A1,[a b c]);
A2=FracSym(A2,[a b c]);

A1=collect(A1,u)
A2=collect(A2,u)

A1=(3*s3 - s1*s2 + 2*b*c*s1)*u^2 + (- 2*b*c*t*s1^2 - 2*s3*t*s1 + 2*t*s2^2 + 2*b*c*t*s2)*u - 2*s2*s3 - 3*b*c*s3 + b*c*s1*s2;
A2=3*u^6 + (-4*s1*t)*u^5 + (s1^2 + 4*s2*t^2 - 2*s2)*u^4 + (- s2^2 - 4*s1*s3*t^2 + 2*s1*s3)*u^2 + 4*s2*s3*t*u - 3*s3^2;

% On constate que T=A2, donc que T=0 entraîne Nula=0
% Si les normales concourent, alors Q est sur les normales.


    Cordialement,

    Rescassol87776
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Rescassol et merci
    Essayons avec la méthode de Bouzar (j'ai zappé le détail des calculs pénibles).
    Tout d'abord, on a $L=\left( x_{L}:y_{L}:z_{L}\right) $ avec $x_{L}=\left( a^{2}-b^{2}\right) \left( a^{2}-c^{2}\right) -S_{A}^{2},...$.
    Par chance, on a $\dfrac{D\left( n_{A},n_{B},n_{C}\right) }{D\left( p,q,r\right) }=\begin{vmatrix}x&a^{2}yz&x_{L}\\y&b^{2}zx &y_{L}\\z&c^{2}xy&z_{L}\end{vmatrix}$ (encore faut-il le vérifier).
    Ainsi, quand les $3$ normales concourent, leur point commun $Q$ est bien sur la cubique de Darboux.
    Il est clair que toute droite dont l'équation est combinaison linéaire de celles des $3$ normales va passer par $Q$ quand ces $3$ normales concourent en $Q$. Il suffit de le prouver pour les droites $OP$ et $L\sigma \left( \Omega \right) $.
    En fait, la droite $OP$ a pour équation $a^{2}n_{A}+b^{2}n_{B}+c^{2}n_{C}=0$ et la droite $L\sigma \left( \Omega \right) $ a pour équation $\left( S_{B}q+S_{C}r\right) n_{A}+\left( S_{C}r+S_{A}p\right) n_{B}+\left( S_{A}p+S_{B}r\right) n_{C}=0$ (on peut aussi se débrouiller avec des rangs de matrices).

    Nous allons pouvoir maintenant nous attaquer à la perfide question subsidiaire de Darboux :
    considérant toutes les coniques circonscrites $\Gamma $ dont les normales en $A,B,C$ concourent, quel est le lieu du pied de la quatrième normale à $\Gamma $ passant par leur point de concours?

    Bien cordialement. Poulbot
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Il semblerait, sans aucune garantie, que ce pied serait l'isogonal de $M_0$, qui est lui même le projeté orthogonal de $0$ sur la droite dont la conique est l'isogonale.
    En tout cas quand j'écris que la normale en ce point passe par $Q$, j'obtiens la même relation $T=0$ que précédemment en facteur.
    Par contre, en trouver le lieu, c'est une autre paire de manches.

    Cordialement,

    Rescassol
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Rescassol
    C'est juste mais tu peux aussi regarder plus haut la figure de Pappus qui connait son Joachimstahl dans le texte.
    Bien cordialement. Poulbot
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Après avoir vu la figure de Pappus, j'ai vérifié que le centre de la conique $\Omega\left(\omega=\dfrac{tu^3 - s_1u^2 + s_2tu - s_3}{2u^2(t^2 - 1)}\right)$ est le milieu du segment $[DM'_0]$ où $D\left(\dfrac{s_3}{u^2}\right)$ est le quatrième point d'intersection de $\Gamma$ et du cercle circonscrit et $M'_0\left(\dfrac{tu^3 - s_1u^2 + s_2tu - s_3t^2}{u^2(t^2 - 1)}\right)$ et le quatrième pied dont la normale passe par $Q$, ce qui donne une autre façon de définir $M'_0$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    C'est normal que je trouve une heptique pour le lieu ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Une figure et le fichier Géogébra.
    On peut promener $M'_0$ sur la courbe bleue.

    Cordialement,87804
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Rescassol
    "C'est normal que je trouve une heptique pour le lieu ?"
    OUI!

    Ce lieu est Q001 sur le site de Bernard Gibert qui nous en donne une remarquable caractérisation géométrique : c'est l'image par la transformation antigonale de la cubique de Lucas.

    Comme on le voit sur le lien ci-dessus, l'image d'un point $M$ par la transformation antigonale $a=gig$ ($g$ est la transformation isogonale et $i$ l'inversion par rapport au cercle circonscrit) est le point diamétralement opposé à $M$ sur l'hyperbole équilatère circonscrite passant par $M$. Cette cubique de Lucas étant l'image de celle de Thomson par l'homothétie $h$ de centre $G$ et de rapport $-2$, le lieu demandé par Darboux est l'image par $ah=gigh$ de la cubique de Thomson. C'est quand même plus sympa que l'équation totalement imbuvable du lieu!

    En fait, si les normales en $A,B,C$ à la conique circonscrite $\Gamma $ de centre $\Omega $ se coupent en $Q$ et, si $D$ est le pied de la quatrième normale à $\Gamma $ passant par $Q$, on a $D=ah\left( \Omega \right) $, d'où son lieu. En termes barbares, $D$ est l'antigonal de l'anticomplément de $\Omega $.

    Ces résultats apparaissent dans une discussion sur le défunt groupe Hyacinthos dont Bernard Gibert nous donne la référence des messages.Le message $\#8509$, que j'ai eu du mal à dégotter, se trouve ICI et, pour passer d'un message au suivant, il suffit d'utiliser le lien "Next post in topic" en bas à droite du message. Hélas, il faut se munir d'un décodeur ultra-perfectionné avant de lire ces messages (et je ne suis pas certain que cela suffise). Les résultats ci-dessus y sont prouvés en s'appuyant sur deux choses :
    $1)$ Les points $A,B,C,D,H,\Omega ,Q$ ($P$ et $a\left( D\right) =h\left( \Omega \right) $ aussi d'ailleurs) sont sur une même hyperbole équilatère, l'hyperbole d'Apollonius du point $Q$ relative à $\Gamma $ (il en a été question à plusieurs reprises sur ce forum)
    $2)$ Le point $D^{\prime }$ diamétralement opposé à $D$ sur $\Gamma $ est sur le cercle $\left( O\right) $ circonscrit à $ABC$. C'est le théorème de Joachimstahl, visiblement utilisé par Pappus sur sa figure plus haut.

    Bien cordialement. Poulbot87810
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonne nuit,

    Voilà l'équation totalement imbuvable du lieu: 
    (-3*s3)*z^5*zB^2 + 4*s2*z^5*zB + (-4*s1)*z^5 + (-s2*s3)*z^4*zB^3 + (s2^2 + 9*s1*s3)*z^4*zB^2 + (6*s3 - 12*s1*s2)*z^4*zB 
+ (12*s1^2 - 8*s2)*z^4 + s1*s3^2*z^3*zB^4 + (- 9*s3*s1^2 - s1*s2^2 + 2*s3*s2)*z^3*zB^2 + (12*s1^2*s2 - 6*s3*s1 - 2*s2^2)*z^3*zB 
+ (- 12*s1^3 + 12*s2*s1 - 3*s3)*z^3 + 3*s3^3*z^2*zB^5 + (- s1^2*s3^2 - 9*s2*s3^2)*z^2*zB^4 + (s1^2*s2*s3 - 2*s1*s3^2 
+ 9*s2^2*s3)*z^2*zB^3 + (3*s3*s1^3 - 3*s2^3)*z^2*zB^2 + (- 4*s1^3*s2 - 6*s3*s1^2 + 2*s1*s2^2 + 11*s3*s2)*z^2*zB 
+ (4*s1^4 + 9*s3*s1 - 11*s2^2)*z^2 + (-4*s1*s3^3)*z*zB^5 + (12*s1*s2*s3^2 - 6*s3^3)*z*zB^4 + (2*s1^2*s3^2 - 12*s1*s2^2*s3 
+ 6*s2*s3^2)*z*zB^3 + (- 2*s1^2*s2*s3 + 4*s1*s2^3 - 11*s1*s3^2 + 6*s2^2*s3)*z*zB^2 + (6*s3*s1^3 - 6*s2^3)*z*zB 
+ (- 4*s1^3*s2 - 9*s3*s1^2 + 11*s1*s2^2)*z + 4*s2*s3^3*zB^5 + (8*s1*s3^3 - 12*s2^2*s3^2)*zB^4 + (12*s2^3*s3 - 12*s1*s2*s3^2 
+ 3*s3^3)*zB^3 + (11*s1^2*s3^2 - 4*s2^4 - 9*s2*s3^2)*zB^2 + (- 11*s3*s1^2*s2 + 4*s1*s2^3 + 9*s3*s2^2)*zB + 3*s3*s1^3 - 3*s2^3 = 0
    Cordialement,

    Rescassol
  • Math Coss
    Math Coss
    Imbuvable ? Septique heptique pour un sceptique ?
  • df
    df
    C'est frais et désaltérant comparé à ça...87812
    87818
    87820
    87822
  • df
    df
    Pardonnez ma naïveté: je n'arrive pas à comprendre comment un simple calcul d'intersection de deux droites peut aboutir à de telles extrémités !
    Quel calcul de déterminant en est à l'origine ?
    Un humain peut-il faire face sans l'aide d'un logiciel ?
    Enfin, y a-t-il un problème avec le calcul barycentrique ?

    PS: également trouvé sur le $\textbf{Forum Geometricorum}$
    ...87824
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour
    Bien que cela ait peu d'intérêt, on peut écrire l'équation barycentrique de ce lieu sous une forme plus présentable mais encore faut-il faire au passage un peu de géométrie.
    Posant $\rho =a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy$, si $M=\left( x:y:z\right) $, on a $a\left( M\right) =\left( \dfrac{x}{u}:\dfrac{y}{v}:\dfrac{z}{w}\right) $ où $u=2S_{A}x\left( x+y+z\right) -\rho ,v=2S_{B}y\left( x+y+z\right) -\rho ,w=2S_{C}z\left( x+y+z\right) -\rho $.
    Puisque $\dfrac{u}{x}=2S_{A}\left( x+y+z\right) -\dfrac{\rho }{x}$ et que le lieu de Darboux est l'antigonal de la cubique de Lucas, il a pour équation
    $\begin{vmatrix}\dfrac{x}{u}&2S_{A}\left( x+y+z\right) -\dfrac{\rho }{x}&S_{A} \\\dfrac{y}{v}&2S_{B}\left( x+y+z\right) -\dfrac{\rho }{y}&S_{B}\\\dfrac{z}{w}&2S_{C}\left( x+y+z\right) -\dfrac{\rho }{z}&S_{C}\end{vmatrix}=0$ ou encore $\begin{vmatrix}\dfrac{x}{2S_{A}x\left( x+y+z\right) -\rho }&\dfrac{1}{x}&S_{A}\\\dfrac{y}{2S_{B}y\left( x+y+z\right) -\rho } &\dfrac{1}{y}&S_{B}\\ \dfrac{z}{2S_{C}z\left( x+y+z\right) -\rho }&\dfrac{1}{z}&S_{C}\end{vmatrix}=0$, ce qui n'est autre que le fait que $a\left( M\right) $ et les isotomiques de $M$ et de $H$ sont alignés ou encore que l'isotomique de $a\left( D\right) =h\left( \Omega \right) $ est lui aussi sur l'hyperbole rouge de ma figure précédente.
    Cela dit, il n'est pas surprenant que l'image d'une cubique par une transformation rationnelle involutive de degré $5$ soit de degré élevé et je ne pense pas que Darboux attendait comme réponse à sa question une équation totalement imbuvable mais plutôt une caractérisation géométrique relativement simple de son lieu (je ne pense pas qu'il pouvait utiliser des logiciels de calcul formel).
    Bien cordialement. Poulbot

    PS : Sorry, mais j'ai du corriger quelques typos et j'espère qu'il n'y en a plus.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    C'est parce que dans $Nula$, il y a à la fois $a,b,c$ et $s_1,s_2,s_3$ en tant que variables indépendantes.
    J'ai quelquefois besoin de $s_1,s_2,s_3$ comme variables libres et quelquefois comme fonctions symétriques de $a,b,c$ et il peut arriver qu'il y ait conflit. Dans ce cas précis j'aurai pu (ou dû) revenir aux fonctions symétriques avant.

    Ces gros calculs sont faits avec Matlab R2019a (j'ai acheté la licence) et sont infaisables à la main..

    Et certaines choses ont des résultats très compliqués, on n'y peut rien.

    Enfin, dans mon code on peut voir d'où vient chaque expression, sinon tu peux me demander des explications sur tel ou tel point.

    Cordialement,

    Rescassol

    Edit: Je répondais à df avant d'avoir vu le message de Poulbot.
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Rescassol
    "Et certaines choses ont des résultats très compliqués, on n'y peut rien."
    Je ne suis pas tout à fait d'accord : il est fréquent qu'en incorporant des résultats ou des remarques géométriques à des calculs brutaux, on obtienne les résultats sous une forme bien plus agréable ou (et) que l'on simplifie notablement les calculs.
    Bien cordialement. Poulbot
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour
    Ci-dessous une tentative de généralisation du théorème de Joachimstahl.
    $\Gamma $ est une conique à centre, $A,B,C,D$ sont $4$ points distincts de $\Gamma $, $T_{A},T_{B},T_{C},T_{D}$ les tangentes correspondantes, $D^{\prime }$ est le quatrième point d'intersection de $\Gamma $ et du cercle $ABC$.
    On suppose qu'il existe un point $M$ tel que $\left( AM,T_{A}\right) =\left( BM,T_{B}\right) =\left( CM,T_{C}\right) =\varphi $.
    Alors $\left( DM,T_{D}\right) =\varphi \Longleftrightarrow $ $D$ et $D^{\prime }$ sont diamétralement opposés sur $\Gamma $.
    $VRAI$ ou $FAUX$?

    Le théorème de Joachimstahl dit que c'est vrai quand $\varphi =\dfrac{\pi }{2}$.

    Finalement, j'ai ouvert sur ce sujet un nouveau fil : Variations sur Pappus et Joachimstahl

    Amicalement. Poulbot
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