Paramétrisation rationnelle d'une quadrique
dans Géométrie
Bonsoir à tous,
Je recherche une paramétrisation rationnelle de la quadrique $Q:y^2-z^2=x^2+x-2$ (hyperboloïde à une nappe?) de l'espace affine réel.
Voilà ce que j'ai fait pour le moment :
$(0:1:1:0)$ est un point à l'infini de $Q$, ce qui encourage à chercher les points d'intersection des droites dirigées par $(0,1,1)$ avec $Q$.
Pour une telle droite $d$, il existe des réels $a$ et $b$ tels que $d$ soit l'intersection des plans d'équations $x=a$ et $y=b+z$.
Pour $(x,y,z)\in Q\cap d$, on a $y^2-z^2=b^2+2bz=a^2+a-2$ et donc, quand $b\neq 0$, on obtient $z=\dfrac{a^2-b^2+a-2}{2b}$ et $y=\dfrac{a^2+b^2+a-2}{2b}$.
Du bon rationnel !
Mais, si $b=0$, il vient $(x=1$ ou $x=-2)$ et $y=z$.
D'où ma question : peut-on trouver une paramétrisation rationnelle de $Q$ qui soit uniforme ?
Je recherche une paramétrisation rationnelle de la quadrique $Q:y^2-z^2=x^2+x-2$ (hyperboloïde à une nappe?) de l'espace affine réel.
Voilà ce que j'ai fait pour le moment :
$(0:1:1:0)$ est un point à l'infini de $Q$, ce qui encourage à chercher les points d'intersection des droites dirigées par $(0,1,1)$ avec $Q$.
Pour une telle droite $d$, il existe des réels $a$ et $b$ tels que $d$ soit l'intersection des plans d'équations $x=a$ et $y=b+z$.
Pour $(x,y,z)\in Q\cap d$, on a $y^2-z^2=b^2+2bz=a^2+a-2$ et donc, quand $b\neq 0$, on obtient $z=\dfrac{a^2-b^2+a-2}{2b}$ et $y=\dfrac{a^2+b^2+a-2}{2b}$.
Du bon rationnel !
Mais, si $b=0$, il vient $(x=1$ ou $x=-2)$ et $y=z$.
D'où ma question : peut-on trouver une paramétrisation rationnelle de $Q$ qui soit uniforme ?
Réponses
-
Bonjour,
Je ne connais rien sur ce sujet, mais si on cherche une paramétrisation rationnelle, on a $(x,y,z)=(1,0,0)$ dans la quadrique et donc on pose $x=t+1$ avec $t$ un réel et alors $y^2-z^2=t^2+3 t$ et on factorise chacun des membres ; une solution évidente est alors $y-z=t a,y+z=(t+3)/a$ avec $a\neq 0$ :
$x=t+1,y=(1/a+a)/2 t+3/(2a), z=(1/a-a)/2 t+3/(2 a)$
puis on choisit $a$ un rationnel non nul et tel que $1/a\pm a\neq0$... -
@YvesM : Quelles valeurs de $a$ et $t$ sont associées à $(1,0,0)$ ?
-
Bonjour,
On pose $b=1/a$ dans le paramétrage. $1,0,0$ est obtenu pour $t=-1,b=0$. Ah non ! C’est une connerie : $a+1/a$ empêche $a$ infini.
Donc le parametrage ne convient pas. -
Tu as fait une erreur de calcul : c'est $y=\left(a+\dfrac 1 a\right)\dfrac t 2+\dfrac 3{2a}$ et $z=\cdots$
Une autre erreur : pour obtenir $(1,0,0)$, il faut prendre $t=0$ et $a=\infty$.
Je ne vois pas comment trouver $(1,1,-1)$... -
Bonjour,
Non, pas d’erreur. Tu as écrit la même équation que moi. Prendre l’infini pour le paramètre $a$ n’a pas de sens puisque qu’on a $y=(a+...)/2 t+...$.
Sinon, comme la quadrique est paire en $y$ et en $z$, on peux imposer pour la paramétrisation $y,z\geq 0$... -
Avec tes choix, $x=t+1$, $y=\dfrac{a^2t+t+3}{2a}$ et $z=\dfrac{-a^2t+t+3}{2a}$ et on ne peut pas récupérer $(-2,1,1)$ non plus.
-
Qu'est-ce qui vous fait dire qu'il existe un paramétrage bijectif ?
-
@Math Coss : C'est la question que je pose à la fin de mon premier message.
Connais-tu la réponse ? -
Source de ma question : Hellegouarch "Invitation aux Mathématiques de Fermat-Wiles" 2ème édition, Exercice 4 p.38.
Mais ai-je bien compris l'énoncé de cet exercice ? -
@Math Coss : Si je change l'équation en $y^2-z^2=x^2+x+2$, la technique de mon premier message donne le paramétrage bijectif $$x=a,\quad y=\dfrac{a^2+b^2+a+2}{2b},\quad z=\dfrac{a^2-b^2+a+2}{2b},\quad (b\neq 0).$$
Le problème avec $Q$, c'est que $X^2+X-2$ possède deux racines rationnelles... -
Bonjour,
Je crois m'en être sorti péniblement en faisant de la bonne vieille géométrie !
1) La droite $\Delta$ d'équations $x=1$ et $y=z$ est contenue dans $Q$.
2) Soit $r$ une rotation d'axe parallèle à $(Oy)$ et passant par $(-1/2,0,0)$.
Alors la droite $r(\Delta)$ est contenue dans $Q$.
3) En particulier, si $(x,y,z)\in Q$, il existe des réels $b$ et $t$ tels que :
$$x=\frac 3 2\cos t+b\sin t-\frac 1 2,\quad y=b,\quad z=b\cos t-\frac 3 2\sin t.$$
4) On conclut grâce au classique :
$$\cos t=\frac{1-a^2}{1+a^2},\quad \sin t=\frac{2a}{1+a^2}.$$ -
De cette façon, ne perds-tu pas le point correspondant à $a=\infty$, ou $t=\pi$ ?
(Je ne vois pas comment on pourrait envoyer bijectivement $\R^2$ sur $\R\times(\R/\Z)$ avec des fractions rationnelles. En général, quand on cherche des paramétrages rationnels, on cherche à envoyer un ouvert du truc de départ bijectivement sur un ouvert du truc d'arrivée mais on n'espère pas que ce soit bijectif partout. Je comprends « rationnel » comme relatif aux fractions rationnelles plutôt qu'au corps de base. Peut-être me planté-je toutefois...) -
Quelle est l'arithmétique de $\infty$ sur la droite réelle projective ?
Pour tout $a$, on obtient un point de $Q$ en faisant $b=1/a$ puis on évalue en $a=\infty$ pour récupérer $(-2,0,0)$. -
Bonjour.
-
Merci soland,
Mais comment récupères-tu le point $(-2,1,-1)$ ? -
Bonjour,
$x=-{1\over 2} +{3\over 2} \cosh u \cos t, y={3\over 2} \sinh u, z={3\over 2}\cosh u \sin t$ avec $\cosh u={1+b^2\over 1-b^2}, \sinh u={2 b\over 1-b^2}, \cos t={1-a^2\over 1+a^2},\sin t={2 a\over 1+a^2}$, $a \in \R, b\in\R\setminus\{\pm1\}.$
La fonction $x$ est paire en $u$ et en $t$ alors que les fonctions $y$ et $z$ sont impaires en $u$ et $t$ respectivement. -
Suite aux remarques de soland et Math Coss, je pose la question suivante aux géomètres.
En réalité, j'ai obtenu le morphisme suivant du plan projectif $\cal P$ dans $Q:y^2-z^2=x^2+tx-2t^2$ :
$$(a:b:c)\mapsto \left(c(c^2-2a^2+2ab):b(c^2+a^2):b(c^2-a^2)-3ac^2:c(c^2+a^2)\right).$$
Dans l'image, il n'y a qu'un seul point à l'infini de $Q$, à savoir $[0:1:-1:0]$ donc ce morphisme n'est pas surjectif.
Je pense que $\cal P$ et $Q$ ne sont pas isomorphes.
Y a-t-il une raison profonde que j'ignore ? -
Bonjour,
le groupe de la nappe est $\mathbf{Z}$ car elle est homotope au cylindre.
bonne journée -
Merci callipiger.
Et effectivement, j'ignore beaucoup de choses en géométrie. :-S -
@gai requin
le groupe de tout ce que l'on peut aplatir "homotopement" en un plan privé d'un compact simplement connexe où d'une couronne
contient $\mathbf{Z}$
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Bonjour!
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