Triangles anticéviens
Bonsoir,
Voilà un problème posé par Vu Thanh Tung & Vu Quoc My aujourd'hui sur la liste Hyacinthos:
Soient un triangle $ABC$ et une conique $\Gamma$ quelconques.
Montrer que si les sommets du triangle anticévien d'un point $P$ de $\Gamma$ par rapport à $ABC$ sont aussi sur $\Gamma$, il en est alors de même pour tout point $Q$ de $\Gamma$.
Même si ce problème est purement affine, Morley circonscrit en vient à bout facilement.
Cordialement,
Rescassol
Voilà un problème posé par Vu Thanh Tung & Vu Quoc My aujourd'hui sur la liste Hyacinthos:
Soient un triangle $ABC$ et une conique $\Gamma$ quelconques.
Montrer que si les sommets du triangle anticévien d'un point $P$ de $\Gamma$ par rapport à $ABC$ sont aussi sur $\Gamma$, il en est alors de même pour tout point $Q$ de $\Gamma$.
Même si ce problème est purement affine, Morley circonscrit en vient à bout facilement.
Cordialement,
Rescassol
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Réponses
Les triangles céviens et anticéviens sont des notions projectives!
La conique est autopolaire et tout devrait être trivial
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici la figure tonkinoise tracée dans le défunt plan projectif.
La conique $\Gamma$ est autopolaire par rapport au triangle $ABC$ ou bien en sens inverse le triangle $ABC$ est autopolaire par rapport à la conique $\Gamma$.
Une telle conique a pour équation homogène:
$$\alpha x^2+\beta y^2+\gamma z^2=0$$
Si $P(x:y:z)$ est un point quelconque du plan, les sommets de son triangle anticévien sont $P_A(-x:y:z)$, $P_B(x:-y:z)$, $P_C(x:y:-z)$.
Si $P\in \Gamma$, il est clair que les sommets de son triangle anticévien appartiennent aussi à $\Gamma$.
A noter que les transformations $(x:y:z)\mapsto (-x:y:z)$, $(x:y:z)\mapsto (x:-y:z)$, $(x:y:z)\mapsto (x:y:-z)$ sont des homologies involutives ou harmoniques qui forment avec la transformation identique un sous-groupe $G$ du groupe projectif du plan, à $4$ éléments, isomorphe au groupe de Klein laissant stable le triangle $ABC$.
Autrement dit le quadrangle $(P,P_A,P_B,P_C)$ est une $G$-orbite!
Les orbites sont -elles encore au programme?
Ont-elles rejoint les orbites planétaires?
La question posée par Vu Thanh Tung et Vu Quoc My revient donc à montrer que toute conique circonscrite à une $G$-orbite est autopolaire et cela est pratiquement trivial sans le moindre calcul si on connaît la défunte construction (à la règle) de la polaire d’un point par rapport à une conique.
Amicalement
[small]p[/small]appus