Un quadrilatère entier
Pour trouver quatre triangles à côtés entiers s'agençant autour d'un point central.
Départ avec un petit cosinus, $-1/2$ , un des 4 angles au centre est obtus.
Les trois cosinus $(a,b,c)$ des angles d'un triangle vérifient
$a^2+b^2+c^2+2abc=1$
que l'on résout par rapport à $c$ avec $a=-1/2$ :
$c=(b\pm\sqrt{3(1-b^2)})/2$
Dans un triangle entier les cosinus sont rationnels; choisir $b$ ...
Décision : $b$ sera un multiple de $1/(2\times 7^2\times 19^2\times 31)$
Quelques calculs plus loin, les cosinus des 4 angles au centre seront $-1/2$, $1/7$, $-11/38$ et $83/133$ . L'ordre importe peu.
Chacun de ces angles fait partie d'un triangle entier à déterminer; encore des cosinus rationnels !
Les triangles sont, en un premier temps, semblables à $(8,5,7)$ ; $(15,14,19)$ ; $(31,24,11)$ ; $(361,209,240)$ . On a
$$
\frac{5}{7}\,\frac{14}{19}\,\frac{24}{11}\,\frac{209}{240}\,=1
$$
On peut donc ajuster leur taille sans saut au bout du tour.
Enfin, c'est l'idée générale de la construction. Les détails sont longuinets.
Mathematica...
P.S Pas de triangles rectangles, isocèles, semblables.
Départ avec un petit cosinus, $-1/2$ , un des 4 angles au centre est obtus.
Les trois cosinus $(a,b,c)$ des angles d'un triangle vérifient
$a^2+b^2+c^2+2abc=1$
que l'on résout par rapport à $c$ avec $a=-1/2$ :
$c=(b\pm\sqrt{3(1-b^2)})/2$
Dans un triangle entier les cosinus sont rationnels; choisir $b$ ...
Décision : $b$ sera un multiple de $1/(2\times 7^2\times 19^2\times 31)$
Quelques calculs plus loin, les cosinus des 4 angles au centre seront $-1/2$, $1/7$, $-11/38$ et $83/133$ . L'ordre importe peu.
Chacun de ces angles fait partie d'un triangle entier à déterminer; encore des cosinus rationnels !
Les triangles sont, en un premier temps, semblables à $(8,5,7)$ ; $(15,14,19)$ ; $(31,24,11)$ ; $(361,209,240)$ . On a
$$
\frac{5}{7}\,\frac{14}{19}\,\frac{24}{11}\,\frac{209}{240}\,=1
$$
On peut donc ajuster leur taille sans saut au bout du tour.
Enfin, c'est l'idée générale de la construction. Les détails sont longuinets.
Mathematica...
P.S Pas de triangles rectangles, isocèles, semblables.
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