Point de Prasolov

Bonsoir Rescassol,
$A,B,C\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right].$
$K,X_{68},\omega\simeq\left[\begin{array}{c} a^2\\ b^2\\ c^2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{a^4 + b^4 + c^4 - 2 a^2 b^2 - 2 a^2 c^2}\\ \dfrac{c^2 +a^2 - b^2}{b^4 + c^4 + a^4 - 2 b^2 c^2 - 2 b^2 a^2}\\ \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{c^4 + a^4 + b^4 - 2 c^2 a^2 - 2 c^2 b^2} \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -(b^2 - c^2)^2 + a^2 (b^2 + c^2)\\ -(-a^2 + c^2)^2 + b^2 (a^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2)^2 + (a^2 + b^2) c^2 \end{array}\right].$
Les points $K, X_{68}, \omega$ sont alignés.
$KX_{68}^2 =\dfrac{(p^2 - r^2 - 4 r R - 2 R^2)^2 (8 p^4 r^2 - 8 p^2 r^4 - 32 p^2 r^3 R +
p^4 R^2 - 50 p^2 r^2 R^2 + r^4 R^2 - 8 p^2 r R^3 + 8 r^3 R^3 +
16 r^2 R^4)}{(p - r - 2 R)^2 (p + r + 2 R)^2 (p^2 - r^2 - 4 r R)^2 }.$
$K\omega^2 = \dfrac{8 p^4 r^2 - 8 p^2 r^4 - 32 p^2 r^3 R + p^4 R^2 - 50 p^2 r^2 R^2 +
r^4 R^2 - 8 p^2 r R^3 + 8 r^3 R^3 + 16 r^2 R^4}{4 (p^2 - r^2 - 4 r R)^2}.$
$\dfrac{KX_{68}^2 }{ K\omega^2} =\dfrac{4 (p^2 - r^2 - 4 r R - 2 R^2)^2}{(p - r - 2 R)^2 (p + r + 2 R)^2}.$
Par ailleurs, on a : $OH^2=-2 p^2 + 2 r^2 + 8 r R + 9 R^2.$
On obtient que :
$\dfrac{KX_{68} }{ K\omega} =\dfrac{2 (p^2 - r^2 - 4 r R - 2 R^2)}{(p - r - 2 R) (p + r + 2 R)}= 2 + \dfrac{8R^2}{R^2-OH^2} .$
On obtient le résultat attendu.
Amicalement