Topologie des variétés algébriques

Bonjour,

je voudrais comprendre plus en détail la topologie des variétés algébriques en suivant les notes de Mark de Cataldo.

J'ai plusieurs questions concernant le début du document :

Soit $C$ une courbe complexe lisse et $L$ le fibré en droite trivial sur $C$. On note $X$ l'espace total de $L$, $E$ la section nulle et $U = X \backslash E$.

1) Il est affirmé que $H^i(X,U) \cong H_{4-i}(E)$ par "Dualité de Lefschetz". La dualité de Lefschetz que je connais ne s'applique qu'aux variétés compactes à bord ce qui n'est pas le cas ici. Comment obtenir cet isomorphisme ?

2) Comment calculer l'homologie de Borel-Moore d'un espace $Y$, en général ? La seule méthode que je connais est de compactifier l'espace et d'utiliser que $H^{BM}_*(Y) \cong H^*(\overline Y, Y)$. Par exemple dans les notes on demande de calculer $H_*^{BM}(tot(\mathcal O(-1))$.

3) En admettant 1) on identifie $H^2(X,U) = H_2(E)$. De plus comme $C$ rétracte sur $X$ on a $H^2(X) \cong H^2(C)$. Dans la longue suite exacte associé au couple $(X,U)$, comme $X$ rétracte sur $E$, on a une application $H_2(E) \to H^2(X) \cong H_2(E)$. Pourquoi cette application coïncide avec l'application $cl_E : H_2(E) \to H^2(E), \alpha \mapsto (\beta \mapsto (\alpha, \beta))$ ?

Merci d'avance !!