KissBis
Problème estival :
On a pu remarquer que j'éprouve pour la configuration de Descartes
(quatre cercles deux à deux tangents, abrégée cfD) un tendre sentiment...
On donne un cercle et un point intérieur.
Les cfD dont fait partie ce cercle et pour lesquelles ce point
est un point de contact constituent une famille monoparamétrée.
Les rayons des deux cercles de la cfD tangents en ce point
vérifient une relation indépendante du paramètre, quel qu'il soit.
Mes calculs sont bien plus compliqués que la relation.
Quelle approche choisirez-vous ?
On a pu remarquer que j'éprouve pour la configuration de Descartes
(quatre cercles deux à deux tangents, abrégée cfD) un tendre sentiment...
On donne un cercle et un point intérieur.
Les cfD dont fait partie ce cercle et pour lesquelles ce point
est un point de contact constituent une famille monoparamétrée.
Les rayons des deux cercles de la cfD tangents en ce point
vérifient une relation indépendante du paramètre, quel qu'il soit.
Mes calculs sont bien plus compliqués que la relation.
Quelle approche choisirez-vous ?
Réponses
-
Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves.
Le segment $mm'$ est une corde focale de l'ellipse de foyers $P$ et $O$ et dont le cercle directeur de centre $O$ est justement le cercle $\Gamma$ de rayon $R$. Soit $d=OP$.
J'en ai déduit immédiatement via l'équation polaire de l'ellipse relative au foyer $P$:
$\dfrac 1{Pm}+\dfrac 1{Pm'}=\dfrac{4R}{R^2-d^2}$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
@Soland
Il ne faut pas te leurrer, tout ce qu'on sait sur l'ellipse dans notre belle république, (je ne sais pas ce qu'il en est dans les alpages), c'est qu'elle a pour équation: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ et dans quel repère? et bien, on s'en fout! -
Après la quickissime résolution de pappus,
voici un problème moins facile sur le même sujet.
On donne trois points qui sont des points de contact
d'une configuration de Descartes.
Problème : reconstituer la configuration.
Il y a trois cas à considérer. -
Bonjour,
on pourrait penser à une inversion qui transforme la droite [en] un cercle de façon à récupérer 3 cercles tangents 2 à 2 et le 4ème au milieu.
Question que je me pose : serait-il possible de récupérer à la fin une configuration avec des symétries d'ordre 3 ?
edit : ça ne va pas être possible ce dernier cas... en tout cas avec que des cercles -
Bonjour
Callipiger m'a beaucoup aidé en me faisant penser à une inversion.
C'est incontestablement un incroyable puits de science!
Voici ci-dessous la construction que je propose, tirée de son idée géniale!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Petite colle:
Quelle est l'inversion de Callipiger que j'ai utilisée?
@Soland
Cette construction marche tout le temps!
Quels sont les trois cas que tu considères? -
Bonjour
J'ai complété ma figure et modifié le code des couleurs de façon qu'on puisse voir plus clairement ma construction.
Finalement tout ce qui reste à faire est d'identifier la merveilleuse inversion de Callipiger!
Merci Callipiger!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
La configuration complète comporte
une configuration simple de 4 cercles,
sa duale
et 3 cercles mutuellement orthogonaux.
Les 3 points donnés peuvent être
sur un même cercle originel,
sur un même cercle dual
ou sur un même cercle orthogonal.
Une bonne solution devrait
nourrir l'âme des géomètres disparus...
ne pas trop s'appuyer sur le fait que
l'un des cercles originels dégénère en droite.
Bonne journée. -
Mon cher Soland
J’avais cru naïvement que tu ne t’intéressais qu’à la reconstitution de la configuration de Descartes quand on se donnait trois points de contact alignés comme sur ta figure.
Il fallait être plus clair!
Mais il se trouve que cette reconstitution est la même dans le cas général que dans ce cas particulier: en appelant $A$, $B$, $C$ ces trois points de contact pas forcément alignés, on transforme la figure par une inversion quelconque de pôle $C$ (n'échangeant plus $A$ et $B\ $ évidemment!).
On tombe alors sur la même forme réduite, celle que j’ai dessinée en pointillés sur ma dernière figure.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Oui.
Je pense que le problème est différent quand les trois points
appartiennent à un même cercle traitillé ci-dessous. -
Voici une esquisse de construction dans le troisième cas,
où les points donnés n'appartiennent ni à un même cercle
de la configuration cherchée ni à un même cercle de la
configuration duale.
Soient a, b, c les points donnés.
On construit les tangentes en a, b, c au cercle circonscrit du triangle (abc),
un des côtés du triangle puis les cercles orthogonaux manquants (2) et (4).
Il y a trois façons de le faire, selon le côté de (abc) que l'on choisit.
Un triple de cercles orthogonaux détermine deux configurations duales,
il y a donc six solutions au problème dans ce troisième cas.
Quid si on les place sur un même dessin ? -
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 38
+26 Invités