Nature du polygone

De temps en temps j'essaie de rédiger.

PRINCIPE : Calculer l'angle en $O$ du triangle $(OO_1O_2)$
via le théorème du cosinus, les côtés étant
$$
|OO_1| =2\cos(m\pi) \qquad |OO_2| = 2\cos(2m\pi) \qquad |O_1O_2| =\sqrt{3}
$$
où $m:=2/k$ . On espère trouver $(4m\pi)$ (cf. le dessin de Domi).

Mathematica donne
$$
f(m) := \frac{|OO_1|^2+|OO_2|^2-3}{2\,|OO_1|\,|OO_2|} - \cos(4m\pi) =
$$
$$
1 - 2\cos(m\pi) + 2\cos(2m\pi) - 2\cos(3m\pi) + 2\cos(4m\pi) - 2\cos(5m\pi) + 2\cos(6m\pi)
$$
Le tracé de cette fonction entre 0 et $1/3$ donne deux zéros potentiels en $(1/13)$ et $3/13$ ,
on retient le premier.

Soit $w := \exp(i\pi/13)$ On a
$$
f(1/13) = 1 + (w^{12} + w^{14}) + (w^{2} + w^{24}) + (w^{10} + w^{16}) + (w^{4} + w^{22}) + (w^{8} + w^{18}) + (w^{6} + w^{20})
$$
C'est la somme des racines 13èmes de l'unité, qui est nulle, ce que je voulais prouver.

Je vais m'occuper des $\cos(2k\pi/13)$, il y en a six.

Bon...
j'ai quelques idées... que je vais transmettre ici avec une égalité.

On part de $27=3^3$ c'est à dire la solution $$


\begin{array}{cc}
27-1& =&(3-1) \times (3^2+3+1) \\[2pt]
\end{array}



$$ euh... et aussi symétrie axiale donc $2$ et $$


\begin{array}{ccccc}
6& =&2 \times 3&=&(3-1) \times 3\\[2pt]
\end{array}

$$ à coup de 3-Sylow... de groupe des unités de $\mathbb{F}_{27}$ et que sais-je encore... tout cela à traduire géométriquement bien entendu avec le codage "3=équilatéral ou rotation d'ordre 3 et "2=symétrie axiale".

Je demande un peu de temps (2-3 jours) pour décanter tout ça... mais si quelqu'un veut prendre la suite de ces "indications" chelous, je vous en prie : faîtes ! (j'ai l'impression que tout ça est cousu de fils blancs...franchement).

Bonsoir à tous,
J'avais moi aussi noté ce problème du site Diophante
J'ai commencé avec la même approche que Domi, mais je suis resté impuissant devant le polynôme de degré 7 ... Et comme je n'avais jusqu'à présent jamais entendu parler du polynôme minimal d'un nombre et de son utilité ... J'ai fait un petit détour par Wikipédia : l'article "polynôme minimal" est assez instructif, mais encore d'un niveau trop élevé au regard de mes connaissances ... Enfin, j'aurai du moins appris quelque chose ! Merci à Domi de m'en avoir donné l'occasion !
Bien cordialement
JLB

@jelobreuil : il n'y a pas besoin de connaître la notion de polynôme minimal.

Soit $P(X)=\dfrac{X^{13}+1}{X+1}=\displaystyle \sum_{k=0}^{12} (-1)^k X^k$. Les racines de $P$ sont $e^{i\frac{k\pi}{13}}$ pour $k=\pm 1,\pm 3,\ldots,\pm 11$.

Notons $x=X+X^{-1}$ et $x_k=X^k+X^{-k}$. On a la relation de récurrence $x_{k+2}=xx_{k+1}-x_{k-2}$ qui permet de calculer $x_2=x^2-2$, $x_ 3=x^3-3x$, $x_4=x^4-4x^2+2$ et $x_5=x^5-5x^3+5x$.

On a
\begin{eqnarray*}
P(X)&=&X^6(1+\sum_{k=1}^6 (-1)^k (X^k+X^{-k}))\\
&=&X^6(1+x_6+x_4-(x_5+x_3)+x_2-x)\\
&=&X^6(1+x(x_5-x_4)+x_2-x)\\
&=&X^6(x^6-x^5-5x^4+4x^3+6x^2-3x-1).
\end{eqnarray*}
Ce terme s'annule quand $x=e^{i\frac{k\pi}{13}}+e^{-i\frac{k\pi}{13}}=2\cos \frac{k\pi}{13}$ ($k=1,3,5,\ldots,11$), donc $64y^6-32y^5-80y^4+32y^3+24y^2-6y-1$ s'annule pour $y=\cos \frac{k\pi}{13}$ ($k=1,3,5,\ldots,11$).

J'ai remarqué au passage que l'automorphisme de $\mathbb{Q}[\xi_{26}]$
induit par $\xi_{26}\mapsto\xi^3_{26}\mapsto\xi^9_{26}\mapsto\xi^{27=1}_{26}$ est d'ordre 3.
Peut-il servir ?

Appart ça, si le triangle équilatéral joue un rôle,
il faut envisager le $3\times 26$-gone.