Tribulations de l'angle $\alpha:=\pi/7$
Je reformule ici un problème lié au cercle des neuf points.
Le triangle d'angles $\alpha$, $2\alpha$, $4\alpha$ fait partie d'un quadrangle orthocentrique.
Les triangles $T_1,~ T_2,~ T_3,~ T_4$, de ce quadrangle ont le même cercle $C$ des neuf points.
Proposition :
Les mesures des arcs découpés sur $C$ par les neuf points sont tous des multiples de $\alpha$.
$C$ et les cercles inscrits aux $T_i$ constituent une configuration de Feuerbach riche.
Malheureusement mon ordi est en clinique pour divers up-grades.
Le triangle d'angles $\alpha$, $2\alpha$, $4\alpha$ fait partie d'un quadrangle orthocentrique.
Les triangles $T_1,~ T_2,~ T_3,~ T_4$, de ce quadrangle ont le même cercle $C$ des neuf points.
Proposition :
Les mesures des arcs découpés sur $C$ par les neuf points sont tous des multiples de $\alpha$.
$C$ et les cercles inscrits aux $T_i$ constituent une configuration de Feuerbach riche.
Malheureusement mon ordi est en clinique pour divers up-grades.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Une ch'tite figure:
Cordialement,
Rescassol
Bien cordialement
JLB
Pour ceux qui n'auraient pas compris pourquoi la figure de Rescassol est super, la voici dans toute sa splendeur.
Les $9$ points du cercle des $9$ points font partie des sommets d'un $14$-gone régulier.
La seule chose qui me chiffonne est la suivante:
Est-ce que le sommet $\theta$ de ce $14$-gone régulier est à l'intersection des deux cercles de la figure?
Amicalement
[small]p[/small]appus
@Jelobreuil
Où as-tu vu que Rescassol parlait de Morley-$9$ points?
Quand Rescassol parle de Morley, c'est qu'il a choisi un cercle du plan euclidien pour être le cercle-unité quand il identifie le plan euclidien au plan complexe.
Comme il y a deux cercles sur la figure, à toi de deviner lequel il a choisi!
Cordialement,
Rescassol
On a les deux possibilités suivantes mais je ne me souviens plus si les homothéties sont encore au programme sinon il faudrait évidemment oublier mes figures
Amicalement
[small]p[/small]appus
Si $R$ est le rayon du cercle $ABC$, combien vaut la distance $OH$?
Amicalement. Poulbot
[small](avec des indices modulo 7)[/small].
Ce triangle, observé dans son habitat naturel, tourne dans son cercle circonscrit !
Ce faisant, ses sommets occupent les positions suivantes (on note les indices uniquement) :
$$\begin{matrix}
0 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 4 \\
2 & 3 & 5 \\
3 & 4 & 6 \\
4 & 5 & 0 \\
5 & 6 & 1 \\
6 & 0 & 2 \\
\end{matrix}$$
On envisage chaque ligne comme une droite de trois points et
on constate que toute paire de points détermine une droite et
que toute paire de droites détermine un point.
Comme dans un grand plan projectif ! Sauf que l'axiome de Fano
n'est pas vérifié. Le corps soujacent est Z/2Z .
On peut faire la même chose avec un quadrilatère inscrit dans le
cercle 13-tomé (en 13 coupé) et le corps Z/3Z.
31-tomé je ne sais.
$OH=R\sqrt{2}$
Cordialement,
Rescassol
Bien, entendu, on peut (et surtout toi) calculer des tas de choses.
Par exemple, combien vaut la distance $\omega K$ ($K$ point de Lemoine)?
Quelles sont les longueurs des demi-axes de l'ellipse de Steiner circonscrite?
Amicalement. Poulbot
Dans le cercle 21-tomé tourne le pentagone de sommets initiaux
$(A_0,A_1,A_4,A_{14},A_{16})$
D'où un plan projectif fini de $4^2+4+1$ points et autant de droites.
Z/4Z n'est pas un corps, donc ??
Une indexation plus transparente serait bienvenue.
P.S. On fréquente sa bon'amie ou sa future.
Peut-être une idée stupide:
$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ n'est pas un corps, mais il existe un unique corps à $4$ éléments.
Cordialement,
Rescassol
Poulbot, $\omega K=\dfrac{R}{\sqrt{14}}$.
Cordialement,
Rescassol
Par chance (pour moi), c'est aussi ce que j'avais trouvé.
Bien cordialement. Poulbot
Le plan projectif sur $F_2^2$ a bien 21 éléments.
Merci.
L'excentricité des ellipses de Steiner est $\sqrt{\dfrac{4}{2+\sqrt{7}}}$, mais ce n'est pas très engageant.
Cordialement,
Rescassol
"ce n'est pas très engageant"
C'est juste mais c'était pour proposer un calcul parfaitement inutile mais assez technique.
Les demi-axes de l'ellipse circonscrite ont pour longueurs $\dfrac{R}{3}\sqrt{7\pm 2\sqrt{7}}$, ce qui donne bien l'excentricité que tu as trouvée.
Bien cordialement. Poulbot
autre particularité : il semblerait que le cercle X10 , X21 , X31 ait même centre que le cercle aux neuf points et passe par un sommet du triangle .
Cordialement
fm_31, je confirme ce qu'il te semble.
En posant $r=e^{\tfrac{2i\pi}{7}}$ comme sur ma figure plus haut, on a :
$x_{10}=\dfrac{r^2(r^2+1)(r^2+r-1)}{2(r^4+r^3-1)}$ pour le point de Spieker.
$x_{21}=\dfrac{2r^5-3r^4-9r^3-12r^2-11r-4}{2(8r^5+14r^4+14r^3+8r^2-3)}$ pour le point de Schiffler.
$x_{31}=\dfrac{r^5+4r^4+4r^3+2r^2+r-1}{(r+1)(-2r^4+2r+2)}$ pour le "second power point".
Ça se simplifie probablement, mais j'ai la flemme.
Le cercle passant par ces trois points a bien pour centre $\omega\Big(\dfrac{r^3 + r^2 + 1}{2}\Big)$
Il a pour rayon $\sqrt{1+\dfrac{r^4+r^3}{2}}$ et passe effectivement par $A_3(a_3=r^2)$.
Cordialement,
Rescassol