Champ de vecteurs linéaire
Salut à tous
Soit $\overline{A}$ le champ de vecteurs $x\mapsto Ax$ sur $\mathbb R^n$, où $A$ est une matrice $n\times n$.
Je voudrais savoir pourquoi en coordonnées on a $$
(*) \qquad \, \, \overline{A}_x= \sum_{i=1}^{n}\left( \sum_{j=1}^{n} a_{j}^{i}\, x^{j}\right)\partial_i.
$$ Un champ de vecteurs est une application lisse d'un ouvert de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^n$, c'est le cas pour $\overline{A}$ défini par $x\mapsto Ax$ sur $\mathbb R^n$. Je crois que $\overline{A}_x$ est la dérivation associée à $\overline{A}$ non ?
Merci d'avance.
Soit $\overline{A}$ le champ de vecteurs $x\mapsto Ax$ sur $\mathbb R^n$, où $A$ est une matrice $n\times n$.
Je voudrais savoir pourquoi en coordonnées on a $$
(*) \qquad \, \, \overline{A}_x= \sum_{i=1}^{n}\left( \sum_{j=1}^{n} a_{j}^{i}\, x^{j}\right)\partial_i.
$$ Un champ de vecteurs est une application lisse d'un ouvert de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^n$, c'est le cas pour $\overline{A}$ défini par $x\mapsto Ax$ sur $\mathbb R^n$. Je crois que $\overline{A}_x$ est la dérivation associée à $\overline{A}$ non ?
Merci d'avance.
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Réponses
Un champ de vecteurs $X$ est une application lisse d'un ouvert de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^n$, soit $L_X$ la dérivation associé à ce champ, on a donc $$L_X f= \sum_{i=1}^{n} X_{i} \partial_i f,
$$ avec $X_{i}$ sont des fonctions lisses, plus précisément sont les coordonnées de $X$ dans $\mathbb R^n$.
Pour mon exemple, on a $\overline{A}$ défini par $x\mapsto Ax$ sur $\mathbb R^n$ est lisse et que $\overline{A}_x$ est la dérivation associée à $\overline{A}$ ainsi les $X_i$ sont les coordonnées de $Ax$ dans $\mathbb R^n$ qui sont données par $$
X_i = \sum_{j=1}^{n} a_{j}^{i}\, x^{j}.
$$ D'où l'expression $(*)$.