La sphère des douze points
Gratter, sentir une résistance, capter un improbable reflet,,,
La sphère passant par les orthocentres des faces d'un tétraèdre orthocentrique
passe aussi par leurs barycentres. L'orthocentre et le barycentre de chaque face
sont antipodes sur le cercle d'intersection de la sphère et de la face.
Les calculs faits avec les sommets
$(0,0,0),\quad(d^2,0,0),\quad(ad,ad-a^2-c^2,cd),\quad(ad,d^2,cd),\quad$
sont hideux et efficaces.
Résultat conjecturé par pressentiment.
La sphère passant par les orthocentres des faces d'un tétraèdre orthocentrique
passe aussi par leurs barycentres. L'orthocentre et le barycentre de chaque face
sont antipodes sur le cercle d'intersection de la sphère et de la face.
Les calculs faits avec les sommets
$(0,0,0),\quad(d^2,0,0),\quad(ad,ad-a^2-c^2,cd),\quad(ad,d^2,cd),\quad$
sont hideux et efficaces.
Résultat conjecturé par pressentiment.
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Réponses
Notations :
Sommets : $A_i$
Orthocentre du tétraèdre (point commun aux quatre hauteurs) : $H$
Orthocentre de la face $(A_iA_jA_k)$ : $H_\ell$
Barycentre du tétraèdre : $G$
Barycentre de la face $(A_iA_jA_k)$ : $G_\ell$
Seconde intersection de $A_iH$ avec la sphère $\mathcal{S}$ : $K_i$
Les douze points sont les $H_i$, les $G_i$ et les $K_i$.
Le segment $[H_\ell G\ell]$ est un diamètre de $\mathcal{S}\cap(A_iA_jA_k)$
$|K_iA_i|=2\times|K_iH|$ (Dans le cas plan on a $|K_iA_i|=1\times|K_iH|$ )
En dimension 4 il existe peut-être ...
En veux-rose les $H_i$ , en jaune les $G_i$ et en vert les $K_i$
Monge a prouvé que, dans un tétraèdre quelconque $ABCD$, les $6$ plans passant par le milieu de $2$ sommets et perpendiculaires à la droite joignant les $2$ autres avaient un point commun : le symétrique $M$ du centre $O$ de la sphère circonscrite par rapport à l'isobarycentre $G$ des $4$ sommets. $M$ est le point de Monge du tétraèdre.
Nathan Altshiller-Court, dans Modern pure solid geometry considère la sphère $S$ passant par les centres de gravité des $4$ faces, qui est l'image de la sphère circonscrite par l'homothétie $\left( G,-\dfrac{1}{3}\right) $ et aussi par l'homothétie $\left( M,\dfrac{1}{3}\right) $.
Le point $A^{\prime }=A+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ est diamétralement opposé sur $S$ au centre de gravité de $BCD$ et $S$ passe aussi par la projection $A^{\prime \prime }$ de $A^{\prime }$ sur le plan $BCD$.
C'est pour cela que NAC nomme $S$ sphère des 12 points du tétraèdre.
Dans le cas d'un tétraèdre orthocentrique, on a $M=H$ et on retrouve ta sphère et ses $12$ points.
Bien cordialement.
Poulbot
En ce qui concerne le tétraèdre, la référence est le livre de P.Couderc et A.Balliccioni, le premier livre du tétraèdre publié en $1935$ chez Gauthier-Villars.
Il est certes un peu vieillot mais il est indispensable.
Je crois que le second livre n'a jamais vu le jour, alors avis aux amateurs!
La sphère décrite par Soland est appelée dans ce livre la deuxième sphère d'Euler, notée $\Sigma_2$
On se doute donc qu'il y en a aussi une première, notée $\Sigma_1$, contenant elle aussi $12$ points remarquables du tétraèdre.
Je ne comprendrais jamais ce fétichisme pour les nombres entiers.
Quoiqu'il en soit, cette première sphère d'Euler est celle qui contient les cercles d'Euler des quatre faces.
Il y a des relations intéressantes entre les deux sphères d'Euler et la sphère circonscrite, notée $S$:
L'inversion de pôle l'orthocentre $H$ du tétraèdre conservant $\Sigma_1$ échange les sphères $S$ et $\Sigma_2$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Signalons une propriété intéressante des tétraèdres orthocentriques.
Parmi tous les tétraèdres dont les aires des faces sont données, celui qui a le plus grand volume est le tétraèdre orthocentrique. Je crois que c'est Lagrange qui, le premier a démontré cette propriété et qui, pour cette occasion, a inventé ses fameux multiplicateurs!
L'intérêt du livre d'Altshiller-Court est qu'il étudie la sphère de Soland dans le cas d'un tétraèdre quelconque (en remplaçant tout simplement l'orthocentre d'un tétraèdre orthocentrique par le point de Monge d'un tétraèdre quelconque) alors qu'il me semble, après l'avoir feuilleté, que Balliccioni n'en parle que dans le cas d'un tétraèdre orthocentrique.
Amicalement. Poulbot
(1) Trouve-t-on des preuves accessibles via le net ?
(2) Je rassemble quelques textes traitant de problèmes qui m'ont intéressé.
Comment vous rendre justice en tant que sources puisque je ne connais pas vos identités ?
Y a-t-il moyen de le faire en respectant vos anonymats ?
En ce qui me concerne, ce n'est certainement pas à moi qu'il faut rendre justice mais à Altshiller-Court car je n'ai fait que répéter ce que j'ai lu dans son bouquin.
Ci-dessous la preuve qu'en donne NAC, qui n'est pas bien compliquée.
Soit $M$ le symétrique de $O$ par rapport à $G$ (inutile d'en connaitre la propriété découverte par Monge) et $\Omega $ le centre de la sphère $S$ passant $G_{a},G_{b},G_{c},G_{d}$ qui est clairement image de le sphère circonscrite $S_{0}$ par l'homothétie $h$ de centre $G$, rapport $-\dfrac{1}{3}$.
Puisque $\overrightarrow{G\Omega }=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{GO}$, on a aussi $\overrightarrow{M\Omega }=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MO}$ et $S$ est aussi image de $S_{0}$ par l'homothétie $h^{\prime }$ de centre $M$, rapport $+\dfrac{1}{3}$.
Ainsi $S$ passe par $A^{\prime }=h^{\prime }\left( A\right) =A+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.
Puisque $\dfrac{\overline{A^{\prime }M}}{\overline{A^{\prime }A}}\dfrac{\overline{\Omega G}}{\overline{\Omega M}}\dfrac{\overline{G_{a}A}}{\overline{GA}}=\left( -\dfrac{1}{2}\right) \left( -\dfrac{1}{2}\right) \left( 4\right) =1$, les points $A^{\prime },\Omega ,G_{a}$ sont alignés (Ménélaüs - dont on peut d'ailleurs se passer puisque la symétrie centrale $h^{\prime }h^{-1}$ fixe $\Omega $ et transforme $G_{a}$ en $A^{\prime }$) et $\left[ A^{\prime }G_{a}\right] $ est un diamètre de $S$.
Il en résulte que la projection $A^{\prime \prime }$ de $A^{\prime }$ sur le plan $BCD$ est aussi sur $S$.
Bien cordialement. Poulbot