Espace affine : ennuyeux ?

Ça me semble assez immédiat à partir des définitions. Encore faut-il savoir quelles définitions tu utilises précisément. Peux-tu les écrire ?

Une remarque : il vaut mieux supposer $S$ non vide, sinon on a quelques ennuis. Soit alors $s_0\in S$. On a $$
\overrightarrow{\mathrm{aff}(S)}= \mathrm{vect}(\{\overrightarrow{s_0s}\mid s\in S\})\;.$$

Si un espace vectoriel agit transitivement et fidèlement sur un ensemble $A$, alors forcément $A$ est non vide.
Un espace affine ou un sous-espace affine est obligatoirement non vide.
Quelle serait la direction du vide ??
Ça peut être embêtant. Par exemple on aimerait pouvoir dire que l'intersection de sous-espaces affines est un sous-espace affine, eh bien non !
Certains auteurs (Bourbaki je crois) s'en tirent en distinguant sous-espace affine (forcément non vide) et variété affine (pas très sûr de la terminologie) qui peut être vide ; le vide est la seule différence entre les deux.

Gentil : la structure d'espace vectoriel est née plus ou moins en faisant abstraction à partir de l'étude des équations linéaires (historiquement en étudiant la linéarité dans le contexte des espaces de fonctions (analyse fonctionnelle)). Les espaces affines sont des abstractions à partir de l'étude non plus d'équations linéaires mais d'équations linéaires avec termes constants. On comprend dès lors pourquoi chaque fois qu'on se retrouve dans un problème mathématique qui fait intervenir non seulement des équations linéaires mais des équations linéaires avec termes constants la notion d'espace affine émerge dans toute sa gloire. Pense à l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire avec terme constant. Quelle est la structure de cet espace ? Ce n'est pas un espace vectoriel mais un espace affine. Même chose en géométrie. Les équations des plans dans R³ (espace de la géométrie normale de tous les jours) ne sont pas des équations linéaires mais bien des équations linéaires avec un terme constant.

L'approche à la Bourbaki en posant ex nihilo la définition d'espace affine ne fait pas comprendre d'où émerge cette notion. Elle est intrinsèquement liée à l'étude des équations linéaires non homogènes.

En fait les notions affines (à part la notion de barycentre qui a bien sur un intérêt très important en mathématique) sont du point de vue de la manipulation très lourdes. Elles n'ont pas la simplicité de la structure vectorielle (ou linéaire) et elles sont moins universelles que la structure projective. C'est une des raisons pour laquelle à chaque fois qu'on doit travailler avec une structure affine la première chose qu'on fait c'est de vectorialiser.

Et la classification affine des coniques, ça t'ennuie ? Les trois orbites de l'action du groupe affine sur l'ensemble des coniques propres réelles (non dégénérées, non vides), ce n'est pas le pied ?