Espace affine : ennuyeux ?
Salut à tous
J'aimerais montrer l'énoncé suivant.
Soit $A$ un espace affine et $S$ une partie de $A$.
Notons $\text{aff}(S)$ le sous-espace engendré par $S$.
La direction de $\text{aff}(S)$ est $\text{vect}(\{ \vec{ss'} \mid s,s' \in S \})$
Mais je ne vois pas comment faire, avez-vous une preuve ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide :-).
J'aimerais montrer l'énoncé suivant.
Soit $A$ un espace affine et $S$ une partie de $A$.
Notons $\text{aff}(S)$ le sous-espace engendré par $S$.
La direction de $\text{aff}(S)$ est $\text{vect}(\{ \vec{ss'} \mid s,s' \in S \})$
Mais je ne vois pas comment faire, avez-vous une preuve ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide :-).
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Réponses
Une remarque : il vaut mieux supposer $S$ non vide, sinon on a quelques ennuis. Soit alors $s_0\in S$. On a $$
\overrightarrow{\mathrm{aff}(S)}= \mathrm{vect}(\{\overrightarrow{s_0s}\mid s\in S\})\;.$$
Ah oui c'est vrai que pour les espaces affines on demande qu'ils soient non vide, pourquoi d'ailleurs ?
Vous avez raison c'était immédiat je viens de le montrer.
Mon cours (trouvé sur le net) définie les espaces affines comme un ensemble $A$ non vide (^^) tel qu'il existe un espace vectoriel $E$ dont le groupe additif agît transitivement et fidèlement sur cet ensemble.
Un sous-espace affine $B$ de $A$ est un ensemble de la forme $P + F$ avec $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $P \in B$.
Ce qui ne m'a pas choqué, d'ailleurs on peut écrire $A = P + E$, c'est la première étape vers la notion de repère affine (cartésien).
Je continue à avancer dans mon cours, c'est beaucoup de définition. Je suis déçu de ne pas avoir d'applications de ces notions par exemple en algèbre. J'ai une application en analyse qui est le calcul différentiel à valeur dans un espace affine (voir le livre d'analyse I de Schwartz) mais voilà. J'ai lu le mot variété affine sur internet (peut-être des applications pour l'étude des courbes algébriques ?).
Bon je vais continuer à apprendre les bases pour le moment.
Un espace affine ou un sous-espace affine est obligatoirement non vide.
Quelle serait la direction du vide ??
Ça peut être embêtant. Par exemple on aimerait pouvoir dire que l'intersection de sous-espaces affines est un sous-espace affine, eh bien non !
Certains auteurs (Bourbaki je crois) s'en tirent en distinguant sous-espace affine (forcément non vide) et variété affine (pas très sûr de la terminologie) qui peut être vide ; le vide est la seule différence entre les deux.
Par exemple on fait quoi avec les coordonnées barycentrique ?
L'approche à la Bourbaki en posant ex nihilo la définition d'espace affine ne fait pas comprendre d'où émerge cette notion. Elle est intrinsèquement liée à l'étude des équations linéaires non homogènes.
En fait les notions affines (à part la notion de barycentre qui a bien sur un intérêt très important en mathématique) sont du point de vue de la manipulation très lourdes. Elles n'ont pas la simplicité de la structure vectorielle (ou linéaire) et elles sont moins universelles que la structure projective. C'est une des raisons pour laquelle à chaque fois qu'on doit travailler avec une structure affine la première chose qu'on fait c'est de vectorialiser.
Au final les exemples que vous me donnez, structures des solutions d'une EDL et équations de plans dans $R^{3}$ montre bien ce que je disais. Si c'est juste pour dire qu'on obtient le translaté d'un espace vectoriel on a rien dit, selon moi, de profond. Et pour l'équations des plans dans $R^{3}$ on peut toujours s'amuser à mettre des droites parallèles et chercher des trucs compliqués comme des faisceaux de droite. Quel théorème profond à besoin de ça ? Peut être en optique géométrique... à voir.
Où sont les exemples profonds d'utilisations des barycentres et (iso) morphismes affines ?
On part d'un plan projectif. On place un scotch rouge sur l'une des droites, et on l'appelle $\def\linf{\mathcal{L}_{\infty}} \linf$. Pour deux points dans le rantanplan (c'est à dire à l'exclusion de la droite de l'infini), on pose \[ \overrightarrow {AB} = \dfrac 1 {\linf \cdot B}\, B - \dfrac 1 {\linf \cdot A}\, A \] Et on se demande quelles sont les choses non ennuyeuses que l'on peut dire à ce sujet.
Cordialement, Pierre.