Médiatrices d'un triangle

Bonsoir cher Pappus,
Et merci de ce petit problème assez simple pour moi ! :-)
Sur ma figure, où OM est la tangente en M au cercle de centre F, on voit les égalités d'angles suivantes :
FEM = FME (triangle MFE isocèle)
FEM = DMO (angles inscrits interceptant le même arc MD)
d'où FME = DMO et par conséquent FMO = FMD + DMO = FMD + FME = DME = "un droit" (comme on disait sans doute, de ton temps) comme angle inscrit dans un demi-cercle, donc FM et OM sont perpendiculaires, donc sont réciproquement rayon et tangente et les cercles de centre O et de centre F sont orthogonaux ...

(Je dois dire que j'ai probablement lu cette démonstration il y a quelque temps chez Hadamard ou Lebossé et Hémery, mais je te certifie que je n'ai regardé ni l'un ni les autres pour rédiger ma solution ! c'est assez satisfaisant de constater qu'il y a des choses qui rentrent sous le crâne !)
Bien amicalement
JLB

Bonne nuit à toi aussi, Pappus !
Là, il est un peu tard pour que je me mette à étudier ta dernière question ! j'y reviendrai demain (ou cette nuit en cas d'insomnie persistante !)
Bien amicalement
JLB

Merci Poulbot de t'intéresser à des problèmes aussi triviaux.
N'oublions pas que j'ai été nourri au lait du Lebossé-Hémery!
Voici donc une autre preuve que celle de Jelobreuil de cette orthogonalité du cercle circonscrit au triangle $ABC$ et du cercle de diamètre $[A_BA_C]$.
La médiatrice de $BC$ est un diamètre $\alpha\alpha'$ du cercle circonscrit.
Par suite le couple $(A\alpha,A\alpha')$ est formé des bissectrices intérieure et extérieure de l'angle $\widehat{BAC}$.
On a donc un (défunt) faisceau harmonique: $$(AB,AC,A\alpha,A\alpha')=-1$$ qu'on coupe par la médiatrice de $BC$ pour obtenir une (toute aussi défunte) division harmonique $$(A_B,A_C,\alpha,\alpha')=-1$$
On se sert alors de la relation (tombée dans l'oubli le plus complet) de feu Sir Isaac Newton, (qui pleure toujours ses chères coniques disparues):
$$\overline{O\alpha}^2=\overline{O\alpha'}^2=\overline{OA_B}.\overline{OA_C}$$
prouvant que les points $A_B$ et $A_C$ sont inverses, (qu'est que c'est encore que cet adjectif libidineux?), par rapport au cercle circonscrit au triangle $ABC$, montrant ainsi que ce cercle circonscrit est orthogonal à tout cercle passant par les points $A_B$ et $A_C$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Pappus,
Je m'en doutais, qu'il y avait des histoires de faisceaux harmoniques et de divisions harmoniques ! Mais comme il y a cinquante ans cette année que j'ai passé mon bac C, c'était bien trop loin pour que je me souvienne de tout ça, et surtout de la manière de l'utiliser ! Merci de m'avoir rafraîchi la mémoire !
Bien amicalement
JLB