Des heptagones et des ellipses
dans Géométrie
Bonjour à tous
Deux heptagones réguliers, accolés avec un côté commun ... quelques paires de diagonales communes ... quelques-uns de leurs points d'intersection ... et l'on peut tracer deux ellipses homothétiques, dans un rapport particulier ...
Merci pour vos explications !
La figure est jolie, n'est-ce pas ?
Bien cordialement
JLB
Deux heptagones réguliers, accolés avec un côté commun ... quelques paires de diagonales communes ... quelques-uns de leurs points d'intersection ... et l'on peut tracer deux ellipses homothétiques, dans un rapport particulier ...
Merci pour vos explications !
La figure est jolie, n'est-ce pas ?
Bien cordialement
JLB
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Réponses
J'ai vérifié ta figure, tes ellipses sont bien homothétiques mais le seul intérêt de ton exercice est de calculer ce rapport!
Amicalement
[small]p[/small]appus
A vrai dire, ce que je trouve curieux et que je voudrais comprendre, c'est d'une part l'égalité entre le petit axe de la grande ellipse et le grand axe de la petite ellipse, et d'autre part, comment il se fait qu'elles soient homothétiques,
Quant à calculer le rapport d'homothétie, on devrait pouvoir s'en sortir assez facilement, avec tous les parallélogrammes, losanges et trapèzes isocèles que recèle cette figure ... n'est-ce pas ?
Bien amicalement
JLB
J'ai remarqué quelque chose d'intéressant: les centres $O$ et $O'$ des deux heptagones sont les foyers de l'ellipse intérieure!
On connait donc les éléments de réduction de cette ellipse!
Et le rapport cherché devrait être maintenant facile à évaluer!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Hélas, je n'avais regardé que deux décimales.
En en prenant plus, on voit que c'est faux.
Dommage, c'était trop beau pour être vrai!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Même si ce n'est pas exactement exact, je ne trouve pas cela inintéressant, loin de là ! Et si deux décimales concordent,, cela donne donc une approximation de l'ordre du pour-cent, ce qui est, à mon avis, tout à fait acceptable !
Un autre exemple de bonne approximation : pour deux pentagones réguliers accolés, les foyers de l'ellipse passant par les six points externes sont très voisins des centres de gravité des triangles extrêmes, voir figures jointes (la deuxième est un agrandissement de la partie gauche de la première). J'ai commencé à faire les calculs de vérification, mais je n'ai pas encore pu les terminer ...
Quand je construis, avec Geogebra, une ellipse à partir de cinq des six points externes et une ellipse ayant pour foyers les centre de gravité des deux triangles extrêmes et passant par l'un des points externes, les deux ellipses obtenues sont pratiquement indiscernables l'une de l'autre ...
Bonne nuit, bien amicalement
JLB
Bien amicalement
JLB
on a trois cercles, deux cercles principaux et deux cercles secondaire, mais le cercle principal de la "petite" ellipse est le cercle secondaire de l'autre ellipse. Le problème ne revient-il pas à trouver l'homothétie qui transforme un cercle en un autre cercle (sachant que les cercles sont concentriques) ?
Lionel
J'ai trouvé pour le rapport de l'homothétie transformant la petite ellipse en la grande : $$
\sqrt{\dfrac{1+\cos(\frac{3\pi}7)}{\cos(\frac{3\pi}7)}}.
$$ Passionnant !
Amicalement
[small]p[/small]appus
Sauf erreur, supposant l'heptagone inscrit dans un cercle de rayon $1$, si $a>b$ sont les longueurs des demi-axes de la grande ellipse et $a^{\prime }>b^{\prime }$ ceux de la petite, $b^{2}=a^{\prime 2}$ est la plus petite racine positive de $t^{3}-\dfrac{7}{4}t^{2}+\dfrac{49}{64}=0$ et, si $k=\dfrac{b}{a}=\dfrac{b^{\prime }}{a^{\prime }}$ (qui est aussi rapport d'homothétie entre les $2$ ellipses), $k^{2}$ est la plus petite racine positive de $t^{3}+t^{2}-t+\dfrac{1}{7}=0$.
On a aussi $\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}=\dfrac{8}{7}$.
En tout cas, cela colle avec le résultat de Pappus que je n'avais pas vu pendant que j'écrivais ce qui précède.
Du coup, on devrait avoir $b=a^{\prime }=\sqrt{\dfrac{7}{8}\dfrac{1+2\cos \frac{3\pi }{7}}{1+\cos \frac{3\pi }{7}}}$.
Amicalement. Poulbot
Merci beaucoup d'avoir fait ces calculs !
Mais j'aimerais comprendre pourquoi, en fait, b = a' ?
Parce que, si je me souviens bien, pour dessiner ma première figure, j'ai tracé les ellipses avec la fonction "conique passant par 5 points", en faisant passer la grande par 5 des 10 sommets extérieurs, et la petite par l'un des deux sommets communs et par les 4 points indiqués d'intersection entre diagonales ... Cette égalité ne me semble donc pas évidente a priori !
Bien cordialement
JLB