De la géométrie avant toute chose

Bonne Nuit et faites de beaux rêves.
Voici ma propre construction de la droite lieu des points $A'$ tels que $\det(\overrightarrow f)=1$.
C'est une construction affine. Je n'utilise pas de métrique et donc pas d'Axiome dePythagore!
Dieu! Que c'est angoissant, vais-je m'en remettre?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
Voici une autre variante plus fonctionnelle de ma construction.
La seule difficulté est de deviner l'ordre dans lequel j'ai construit mes points.
Une indication!
$ABC\mapsto A''B'C''$ et $A''B'C''\mapsto a'B'C'$
où il faut identifier ces flèches.
Encore une fois c'est cela faire de la géométrie:
utiliser des groupes de transformations et décomposer!
Amicalement
[small]pappus[/small]

Bonjour à tous
Dans la figure ci dessous, les points $A$, $B$, $C$, (formant triangle), $B'$, $C'$ sont donnés.
Elle montre en rouge le lieu des points $A'$ tels que si $f:ABC\mapsto A'B'C'$ est l'application affine envoyant $A$ sur $A'$, $B$ sur $B'$, $C$ sur $C'$, alors $1\ $ est valeur propre de $\overrightarrow f$.
C'est un exercice un peu surprenant dans un pays où la géométrie se résume à montrer que trois points sont alignés ou trois droites concourantes ou quatre points cocycliques!
Vous avez ma construction sous les yeux, il ne reste plus qu'à la justifier!
Ah, évidemment il faut savoir son cours de géométrie affine qui ne se limite pas aux théorèmes de Ménélaüs et de Céva!
Amicalement
[small]p[/small]apus

@ Callipiger
J'ai surtout l'impression que tu te fous de nous.
On dirait des math, ça ressemble à des math mais ce ne sont pas des maths!
Il me semble que tu prends des mots dans une encyclopédie de mathématiques, tu secoues le tout pour bien les mélanger et tu nous les ressors n'importe comment.
Tu n'as strictement rien à faire dans cette discussion et je te soupçonne fortement d'être le même individu que celui à l'alias graveleux, au logo obscène et à la signature immonde.
J'ai d'ailleurs montré que ton alias ne valait pas mieux que le sien!
[small]p[/small]appus

@Callipiger
Tout le monde sait qu'il n'y a pas besoin de contrefaire une adresse IP pour avoir plusieurs alias.
Tu peux en changer toutes les minutes si cela t'amuse!
Quant à tes intuitions grotesques, tu peux les garder pour toi!
Tu ne vas sur ce forum que pour faire l'intéressant et tu n'es qu'un troll comme nous en avons déjà connu beaucoup d'autres dans le passé et comme nous en connaîtrons beaucoup d'autres dans le futur!
[small]p[/small]appus

@Callipiger
Bien sûr que tout est faux, absolument tout, cela va sans dire mais cela va mieux en le disant.
Le faisceaux (sic!) des applications affines, cela n'a aucun sens!
L'orbite du pour $A$, cela n'a aucun sens. Il faut te relire moi je me relis dix fois, cent fois!
L'ensemble des applications affine (sic) dont la partie linéaire est l'identité est une droite affine de l'espace des applications affine (sic).
Cela c'est la meilleure que j'ai jamais lue.
Puisque c'est une droite affine, peux-tu nous en exhiber un vecteur directeur?
Quel nom donne-ton à l'ensemble des applications affine (sic) dont la partie linéaire est l'identité?
Quelle est la dimension de l'espace des applications affine (sic)?
[small]p[/small]appus

@Callipiger
Ce n'est pas moi qui a écrit que l'ensemble des translations est une droite affine, c'est toi et seulement toi!
Oui, je fais des erreurs et bien plus souvent que tu ne le crois mais heureusement GaBuZoMeu est là qui veille au grain !
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
Voici une preuve en coordonnées, (pour ceux qui n'aiment que celles là), de cette sombre histoire de droite lieu des points $A'$ tels que:
$\det(\overrightarrow f)=1$
On travaille dans le repère $r=\{O,(\bf u,\bf v)\}$ où $\bf u$$=\overrightarrow{BC}$ et $\bf v$$=\overrightarrow{C'B'\ ~~}$, voir figure ci dessous!
Dans un tel repère, les coordonnées de nos six points sont:
$A(p,q)$, $B(b,0)$, $C(b+1,0)$
$A'(p',q')$, $B'(0,c+1)$, $C'(0,c)$
L'aire algébrique $S(M_1,M_2,M_3)$ est donné par la formule:
$$
S(M_1,M_2,M_3)=
K(r)
\begin{vmatrix}
x_1&x_2&x_3\\
y_1&y_2&y_3\\
1&1&1
\end{vmatrix}
$$
où la constante $K(r)$ ne dépend que du repère $r$, constante dont on aura rien à cirer puisqu'on aura à faire qu'à des égalités d'aires.
On en déduit:
$S(A,B,C)=
K(r)
\begin{vmatrix}
p&b&b+1\\
q&0&0\\
1&1&1
\end{vmatrix}
=K(r)q$.
$S(A',B',C')=
K(r)
\begin{vmatrix}
p'&0&0\\
q'&c+1&c\\
1&1&1
\end{vmatrix}
=K(r)p'$
L'égalité $S(A,B,C)=S(A',B',C')$ équivaut donc à $p'=q$.
D'où la construction de la figure ci-dessous qui exige de savoir faire la somme de deux vecteurs, sans doute un épouvantable casse-tête aujourd'hui dans notre beau pays!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Ceux qui ont le coup d'oeil remarqueront qu'ils ont à faire à des vecteurs glissants!

Bonne Nuit
Je vais tenter de prouver la construction de Poulbot, la seule qui vaille, la vraie de vrai, l'unique à retenir!
Si $M$ est un point du plan, je note: $\tau(M)=\mathrm{tr}(\overrightarrow{f_M})$ où $f_M$ est l'application affine $ABC\mapsto MB'C'$.
Je vais d'abord montrer que $\tau$ est affine et calculer sa partie linéaire.
Soit $\varphi$ une forme alternée non nulle définie sur $\overrightarrow{\mathcal P}\times\overrightarrow{\mathcal P}$
On a la formule de trace : $$
\mathrm{tr}(\overrightarrow{f_M})=\dfrac{\varphi(\overrightarrow{ f_M}(\overrightarrow{BA}),\overrightarrow{BC})+\varphi(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{ f_M}(\overrightarrow{BC}))}{\varphi(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})}=\dfrac{\varphi(\overrightarrow{B'M},\overrightarrow{BC})+\varphi(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{B'C'})}{\varphi(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})}
$$
On en déduit immédiatement:
$\tau(M+\xi)=\tau(M)+\dfrac{\varphi(\xi,\overrightarrow{BC})}{\varphi(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})}
$
prouvant que $\tau$ est affine.
On regarde ma figure de la construction de Poulbot:
Le spectre de $\overrightarrow{f_P}$ est $\{0,1\}$, donc $\tau(P)=1$
Donc $\tau(b)=\tau(P)+\dfrac{\varphi(\overrightarrow{Pb},\overrightarrow{BC})}
{\varphi(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})}=\tau(P)+1=2$ car $\overrightarrow{Pb}=\overrightarrow{BA}$ par définition de Poulbot.
L'inconvénient de cette démonstration est qu'il faut bien connaître son Algèbre en général et ses formules de trace en particulier.
Mais n'ai-je pas annoncé la couleur dès le début de ce fil en paraphrasant bien maladroitement Verlaine!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
Sur cette figure, j'ai superposé nos deux constructions, celle de Poulbot et la mienne.
Le point $A'$ est ainsi à l'intersection de trois droites.
Vous vous rendez compte, on vient de montrer que trois droites sont concourantes.
C'est le super pied et on peut oublier tout le reste.
Plus sérieusement, ce qu'il faut retenir de cet exercice, c'est le rôle de l'algèbre linéaire que j'avais voulu mais surtout la construction de Poulbot basée sur le tracé des lignes de niveau de la fonction Trace sur lequel j'avais séché pendant des années!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher pldx1
Bienvenue sur le forum après une si longue absence.
Motiver les gens à faire de la géométrie est une tâche ardue.
Avec la disparition de la géométrie projective, il est difficile de traiter les points projectivement.
Quant au fléchi-flécha, j'ai bien l'impression qu'il s'est fait lui aussi la malle!
Heureusement, en principe il nous reste l'algèbre, mais pour combien de temps encore au train où vont les choses!
Amicalement
[small]p[/small]appus