Lieu du 16/08/2019

soland · August 2019

Deux cercles fixes c$_1$ et c$_2$ sont tangents en A .
B et C sont deux points fixes sur c$_1$ , respectivement c$_2$ .
Une droite variable par A recoupe c$_1$ en D et c$_2$ en E .
Quel est le lieu de F = BD$\cap$CE ? 89386

pappus · August 2019

Merci Soland
Ce qui change par rapport à l'époque où j'avais soixante dix ans de moins?
1° L'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique qui permet de tracer immédiatement le lieu en rouge.
2° On se doute bien alors de la méthode à suivre:
chasse aux angles orientés de droites, relation de Chasles, théorème de l'angle inscrit
3° La disparition quasi totale de la géométrie dans notre république qui fait que cet exercice est imposable chez nous sous peine d'atteinte à l'intégrité mentale de nos élèves!
4° La situation n'est sans doute pas la même dans les alpages?
Amicalement
[small]p[/small]appus 89400

soland · August 2019

On peut aussi utiliser un théorème début du XIXe.

pappus · August 2019

Bonjour
On peut continuer à faire mumuse avec l'idée de Soland en remplaçant cercles homothétiques en $A$ par coniques homothétiques en $A$.
J'ai fait ma figure avec des paraboles homothétiques!
Voilà ce que donne le logiciel
Mais là aussi faut pas rêver, cet exercice sera aussi impossible demain qu'il l'est aujourd'hui avec pour tout viatique la classification affine des coniques!
Amicalement
[small]p[/small]appus 89392

pappus · August 2019

Bonjour
Rien que pour le plaisir, esquissons la démonstration de nos aïeux dans le cas général de deux coniques $\Gamma$ et $\Gamma'$ tangentes et homothétiques en $A$
1° Les droites $BD$ et $CE$ se correspondent homographiquement.
Cela leur semblait si évident qu'en général ils ne le démontraient pas.
Voilà donc un petit boulot pour aujourd'hui!
2° Donc le lieu de l'intersection $M=BD\cap CE$ est une conique passant par les points $B$ et $C$, (voir le livre de Bruno Ingrao!) et aussi par les points communs aux coniques $\Gamma$ et $\Gamma'$.
Et quels sont ces points communs?
Eh bien, le point $A$ (qui compte pour deux) et les points à l'infini communs à $\Gamma$ et $\Gamma'$.
Donc la conique lieu de $M$ passe par cinq points connus et est donc parfaitement déterminée.
Sur ma figure, le lieu de $M$ est donc la parabole passant par les points $A$, $B$, $C$ et ayant le même point à l'infini que les paraboles $\Gamma$ et $\Gamma'$.
C'est un problème intéressant mais défunt que de la construire.
Amicalement
[small]p[/small]appus

pappus · August 2019

Mon cher Soland
Tu excites ma curiosité!
Quel peut être ce théorème du début du $XIX$ème siècle?.
Je pensais naïvement que l'Axiome de Pythagore devait suffire!
Amicalement
[small]p[/small]appus

pappus · August 2019

Bonsoir
C'était l'heure tranquille où les angles vont s'orienter!
Allons donc à la chasse aux angles!
$(MB,MC)=(DB,EC)$, ce sont les mêmes droites avec des noms différents!
$(DB,EC)=(DB,DA)+(EA,EC)$, relation de Chasles où on a inséré la même droite avec des noms différents.
$(DB,DA)=(AB,T)$, le défunt théorème de l'angle inscrit.
$(EA,EC)=(T,AC)$, rebelote avec le défunt théorème de l'angle inscrit.
$(MB,MC)=(AB,T)+(T,AC)=(AB,AC)$, rebelote avec la relation de Chasles
Résultat des courses:
$(MB,MC)=(AB,AC)$
et c'est le théorème de l'angle inscrit qui l'emporte avec une longueur d'avance sur la relation de Chasles!
Quel suspense!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

jelobreuil · August 2019

Merci Pappus de m'apprendre que ce théorème de l'angle inscrit (qui n'est pas si défunt que tu le penses, puisque toi et d'autres le faites encore vivre, au moins sur ce forum !) s'applique aussi à d'autres (ou peut-on dire "aux autres" ?) coniques que le cercle ! J'avoue que je ne le savais point ... Peux-tu préciser, s'il te plaît ? Merci !
Bien amicalement
JLB

pappus · August 2019

Mon cher Jelobreuil
Pour les coniques, la théorie des homographies remplace celle des angles orientés pour le cercle.
En fait aujourd'hui, la situation est d'une simplicité simplissimement simplissime: plus aucun birapport et plus aucun angle orienté à se mettre sous la dent et comme cela tout le monde est content!
Adieu les coniques et adieu les cercles, quitte à mettre de côté le cercle trigonométrique, juste pour suivre le principe de précaution!
Comme on dit maintenant:
Le gilet jaune plie mais ne rond point!
Amicalement
[small]p[/small]appus

soland · August 2019

Miquel

pappus · August 2019

Bonjour à tous
J'ai fait de vagues recherches autour du théorème de Miquel sur la toile, l'une d'elle m'a renvoyé au despote actuel de l'empire du milieu, faut le faire, comme quoi on peut avoir du sang sur les mais et s'intéresser ou plus probablement feindre de s'intéresser à la géométrie, l'autre m'a renvoyé à Henri Lebesgue, ce qui est beaucoup plus justifié.
Mais la démonstration du théorème de Miquel et plus généralement celle des cercles de Clifford, utilise les angles orientés, donc il n'y a rien d'étonnant à ce que la mienne les utilise aussi!
Amicamement
[small]p[/small]appus

soland · August 2019

On se place dans le plan inversif et on utilise deux lemmes :
(A) Les points a, b, c, d sont cocycliques ssi le birapport (ab, cd) est réel.
(Bien connu.)
(B) Pour tout octuplet de points (a, b, c, d, a', b', c', d') le produit des birapports
(ab, c'd')(a'b', cd)
(bc, a'd')(b'c', ad)
(ca, b'd')(c'a', bd)
vaut 1 (un).

pappus · August 2019

Et voilà la figure de Soland faite avec des hyperboles équilatères!
Il n'y a pas de raison de s'arrêter, on a que l'embarras du choix! 89414

pappus · August 2019

Bonjour
On a quatre couples de points homothétiques: $(D_k,E_k)\in \Gamma\times \Gamma'$ pour $1\le k\le 4$
Et maintenant une petite chasse aux défunts birapports, qui ressemble beaucoup à celle des tout aussi défunts angles orientés, ça ne mange pas de pain!
$(D_1,D_2,D_3,D_4)_{\Gamma}=(AD_1,AD_2,AD_3,AD_4)=(AE_1,AE_2,AE_3,AE_4)=(E_1,E_2,E_3,E_4)_{\Gamma'}$
Maintenant
$(D_1,D_2,D_3,D_4)_{\Gamma}=(BD_1,BD_2,BD_3,BD_4)$
$(E_1,E_2,E_3,E_4)_{\Gamma'}=(CE_1,CE_2,CE_3,CE_4)$
Et à la fin des fins et au bout du bout:
$$(BD_1,BD_2,BD_3,BD_4)=(CE_1,CE_2,CE_3,CE_4)$$
prouvant que la correspondance $BD\iff CE$ est bien projective!
Ce raisonnement était si évident que nos aïeux ne le faisaient même pas.
Aujourd'hui, c'est une autre histoire (de fous?).
Amicalement
[small]p[/small]appus