Céva

Bonjour, $\def\grh#1{\mathcal G_{#1}}$

Mettons en musique les idées fournies par poulbot.

(1) Il existe exactement un triangle pédal d'une forme donnée. Quand cette forme est donnée par les tangentes $
\def\tra#1{{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}} \def\etc{,\:\mathrm{etc}} \def\ptv{~;~} \def\Sa{S_{a}} \def\Sb{S_{b}} \def\Sc{S_{c}} \def\Sw{S_{\omega}} \def\slov{\mathcal{S}} \def\equi{\mathcal{E}} \def\pilpt{\Omega} \def\coni#1{\mathcal{C}_{#1}}

$ $t_{A}\doteq\tan\left(\overrightarrow{A_{P}B_{P}},\,\overrightarrow{A_{P}C_{P}}\right)\etc$ (liées par $t_{A}+t_{B}+t_{C}=t_{A}t_{B}t_{C}$), le point central est donné par: \[ P\simeq\left[\begin{array}{c} a^{2}t_{B}t_{C}\left(\Sa\,t_{A}+2\,S\right)\\ b^{2}t_{C}t_{A}\left(\Sb\,t_{B}+2\,S\right)\\ c^{2}t_{A}t_{B}\left(\Sc\,t_{C}+2\,S\right) \end{array}\right] \]

(2) L'ensemble des triangles inscrits d'une forme donnée forme une LFIT, qui contient donc exactement un triangle pédal. On a $\equi=P$ tandis que $\slov,\equi$ forment une paire d'isogonaux. Plus précisément, nous avons le formulaire \[ \begin{array}{c|ccc} & \slov=f\etc & \equi=u\etc & \pilpt=\rho\etc\\ \hline f,g,h & f & \dfrac{a^{2}gh\left(h+g+f\right)}{a^{2}gh+b^{2}fh+c^{2}fg} & f\dfrac{\left(b^{2}h+c^{2}g\right)\left(g+h\right)-a^{2}gh}{a^{2}gh+b^{2}fh+c^{2}fg}\\ \hline u,v,w & \dfrac{a^{2}vw\left(u+v+w\right)}{a^{2}vw+b^{2}uw+c^{2}uv} & u & u\dfrac{\left(b^{2}w+c^{2}v\right)\left(v+w\right)-a^{2}vw}{a^{2}vw+b^{2}uw+c^{2}uv} \end{array} \]
On rappelle que $f+g+h=u+v+w=\rho+\sigma+\tau$ est supposé dans toutes les formules, tandis que $\slov+\equi+\pilpt=\left(f+g+h\right)\left(A+B+C\right)$.

(3) On rappelle que le graphe hexagonal $\grh a$ est donné par $\left[-\rho,\,h-\rho,\,g-\rho\right]$. C'est le lieu des points $\alpha_{t}\doteq b_{t}+c_{t}-A$. Sur cette formule, on voit les rôles respectifs joués par $\slov$ donnant la direction des graphes et par $\pilpt$ donnant l'écart entre le graphe et son modèle fourni par l'anticévien de $\slov$.

(4) Appelons $\coni A\etc$ les coniques utilisées par Poulbot. La première passe par $G_a = B,C,B+C-A$ ainsi que par les intersections de $\grh a$ avec $AB$ et $AC$. Autrement dit, \[ \boxed{\coni A}=\left[\begin{array}{ccc} 2\,\rho & -h+\rho & -g+\rho\\ -h+\rho & 0 & -h+\rho-g\\ -g+\rho & -h+\rho-g & 0 \end{array}\right] \]

(5) Il y a donc soit 1 soit 3 solutions solutions visibles... dépendant d'un discriminant... de degré 12 en $f,g,h$. On peut se ramener au degré 6 en $\rho,\sigma,\tau$ (784 termes, longueur 22955)... Un critère plus maniable serait bienvenu !

(6) Par ailleurs, dans cette situation, les coniques temporelles sont des cercles dont les centres sont sur la médiatrice de $\left[\slov,\equi\right]$. Le cercle minimal est le cyclopedal des deux centres. Quant au PH temporel, c'est donc un empilement de cercles.

Cordialement, Pierre.



Edit: typographier le A-graphe est $\grh a$, tandis que $B+C-A$ est $G_a$.

Bonjour.

Donnons les réponses aux questions posées il y a quelques mois.

On se donne $P_{0}\simeq p_{0}:q_{0}:r_{0}$ et $P_{2}\simeq p_{2}:q_{2}:r_{2}$. $

\def\etc{,\:\mathrm{etc}}
\def\coni#1{\mathcal{C}_{#1}}
\def\isot{\operatorname{isotom}}
\def\kub{\mathcal{K}}

$On construit les coniques $\coni A\left(B,C,G_{a},P_{0},P_{2}\right)\etc$. Elles se coupent en 3 points $P_{0},P_{2},P_{3}$ avec \[ p_{3}=\dfrac{\det\left[P_{0},P_{2},G_{a}\right]}{\det\left[\isot P_{0},\,\isot P_{2},\,G_{a}\right]}\etc \] On vérifie que, à $P_{0}$ fixé, ceci est une involution de Cremona $P_{2}\leftrightarrow P_{3}$. Si l'on suppose que $P_{0}$ n'est pas sur l'une des trois droites $G_{b}G_{c}$, les points d'indétermination de $P_{2}\mapsto P_{3}$ sont $P_{0},A,B,C,G_{a},G_{b},G_{c}$, tandis que le lieu exceptionnel est formé de:

• les droites $P_{0}G_{a},\,P_{0}G_{b},\,P_{0}G_{c}$. Appartenir à l'une d'elles annule un numérateur
  
  $\,$
• les circumconiques coniques $\boxed{\mathcal{C}_{a}}=\mathrm{coni}\,\left(A,B,C,P_{0},G_{a}\right)\etc$. Appartenir à l'une d'elle annule un dénominateur.
  
  $\,$
• une cubique $\kub$ qui passe par $A,B,C,G_{a},G_{b},G_{c}$ ainsi que par $P_{0}$ qui est un point double. Cette courbe se paramétrise donc selon: \[ \left(\begin{array}{c} \dfrac{\left(q_{0}+r_{0}\right)^{2}t+\left(p_{0}+q_{0}+r_{0}\right)r_{0}-p_{0}\,q_{0}}{\left(q_{0}+r_{0}\right)t+q_{0}}\\ \dfrac{\left(\left(p_{0}+q_{0}+r_{0}\right)r_{0}-p_{0}\,q_{0}\right)t+\left(p_{0}+r_{0}\right)^{2}}{p_{0}\,t+p_{0}+r_{0}}\\ \dfrac{\left(\left(p_{0}+q_{0}+r_{0}\right)q_{0}-p_{0}\,r_{0}\right)t-\left(p_{0}+q_{0}+r_{0}\right)p_{0}+q_{0}\,r_{0}}{p_{0}\,t-q_{0}} \end{array}\right) \] On peut aussi utiliser les points $U_{a},U_{b},U_{c}\simeq$ \[ \left[\begin{array}{c} 0\\ p_{0}\left(q_{0}-r_{0}\right)-q_{0}\left(r_{0}+q_{0}\right)\\ p_{0}\left(r_{0}-q_{0}\right)-r_{0}\left(q_{0}+r_{0}\right) \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} q_{0}\left(r_{0}-p_{0}\right)+p_{0}\left(p_{0}+r_{0}\right)\\ 0\\ q_{0}\left(p_{0}-r_{0}\right)+r_{0}\left(p_{0}+r_{0}\right) \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} r_{0}\left(q_{0}-p_{0}\right)+p_{0}\left(p_{0}+q_{0}\right)\\ r_{0}\left(p_{0}-q_{0}\right)+q_{0}\left(p_{0}+q_{0}\right)\\ 0 \end{array}\right] \] pour cette construction. On vérifie que tous les points $P_{2}\in\kub$ vérifient $P_{3}\left(P_{0},P_{2}\right)=P_{0}$.

Considérons la LFIT$

\def\slov{\mathcal{S}} \def\equi{\mathcal{E}} \def\pilpt{\Omega}
\def\trim#1{\boxed{\mathcal{T}_{#1}}}
\def\where{\qquad\mathrm{where}\;}

$ \[ \trim t=\left[\begin{array}{ccc} 0 & \dfrac{\left(1-t\right)p_{0}}{p_{0}+r_{0}}+\dfrac{tp_{2}}{p_{2}+r_{2}} & \dfrac{\left(1-t\right)p_{0}}{p_{0}+q_{0}}+\dfrac{tp_{2}}{p_{2}+q_{2}}\\ \dfrac{\left(1-t\right)q_{0}}{q_{0}+r_{0}}+\dfrac{tq_{2}}{q_{2}+r_{2}} & 0 & \dfrac{\left(1-t\right)q_{0}}{p_{0}+q_{0}}+\dfrac{tq_{2}}{p_{2}+q_{2}}\\ \dfrac{\left(1-t\right)r_{0}}{q_{0}+r_{0}}+\dfrac{tr_{2}}{q_{2}+r_{2}} & \dfrac{\left(1-t\right)r_{0}}{p_{0}+r_{0}}+\dfrac{tr_{2}}{p_{2}+r_{2}} & 0 \end{array}\right] \] Pour $t=0$, on est sur le cévien de $P_{0}$, pour $t=1$, on est sur le cévien de $P_{2}$. Alors les points caractéristiques sont donnés par les formules synchronisées: \begin{eqnarray*} \slov & = & -\left(q_{0}+r_{0}\right)\left(q_{2}+r_{2}\right)\det\left[P_{0}P_{2},B\right]\,\det\left[P_{0}P_{2},C\right]\etc\\ \equi & = & p_{0}p_{2}\,\det\left[P_{0},P_{2},G_{a}\right]\etc\\ \pilpt & = & \det\left[\isot P_{0},\,\isot P_{2},\,G_{a}\right] \end{eqnarray*} As it should be, ces formules vérifient $f+g+h=u+v+w=\rho+\sigma+\tau$ et sont toutes homogènes et de même degré par rapport à chacun des deux points. Pour la formule $\pilpt$, il convient d'utiliser $\isot P_{0}=q_{0}r_{0}:\etc$.

Etude des éclatements

Regardons les éclatements qui se produisent au voisinage d'un point exceptionnel. Comme ces points sont séparés les uns des autres, il suffit de décrire le voisinage infinitésimal d'un point $M$ par \[ M_{s}=M+\epsilon\left(1:s:-1-s\right) \] la quantité $\epsilon$ étant régie par les règles $\epsilon\neq0,\,\epsilon^{2}=0$.

Au voisinage de $G_{a}$, nous avons: \[ \left(\begin{array}{c} -1\\ 1\\ 1 \end{array}\right)+\epsilon\left(\begin{array}{c} 1\\ s\\ -1-s \end{array}\right)\mapsto M_{s}\doteq\left(\begin{array}{c} -\left(2\,p_{0}+q_{0}+r_{0}\right)r_{0}q_{0}\\ \left(p_{0}\,q_{0}+r_{0}\,p_{0}+2\,r_{0}\,q_{0}\right)q_{0}\\ \left(p_{0}\,q_{0}+r_{0}\,p_{0}+2\,r_{0}\,q_{0}\right)r_{0} \end{array}\right)s+\left[\begin{array}{c} -r_{0}\\ q_{0}\\ r_{0} \end{array}\right]\left(p_{0}+r_{0}\right)q_{0} \] On reconnait une paramétrisation de la droite $AP_{0}$, en homographie avec $\mu A+\left(1-\mu\right)P_{0}$.

Au voisinage de $A$, nous avons $\left(-1,0,0\right)+\epsilon\left(1,s,-1-s\right)\mapsto M_{s}\doteq$ \[ \left(\begin{array}{c} \left(\left(q_{0}+r_{0}\right)p_{0}s+\left(p_{0}-r_{0}\right)q_{0}\right)\left(\left(q_{0}+r_{0}\right)p_{0}s+\left(p_{0}+r_{0}\right)q_{0}\right)\left(q_{0}-r_{0}\right)\\ -\left(\left(q_{0}+r_{0}\right)p_{0}s+\left(p_{0}+r_{0}\right)q_{0}\right)\left(\left(p_{0}\,q_{0}+r_{0}\,p_{0}+2\,r_{0}\,q_{0}\right)s+\left(p_{0}+r_{0}\right)q_{0}\right)\left(q_{0}+r_{0}\right)\\ \left(\left(q_{0}+r_{0}\right)p_{0}s+\left(p_{0}-r_{0}\right)q_{0}\right)\left(\left(p_{0}\,q_{0}+r_{0}\,p_{0}+2\,r_{0}\,q_{0}\right)s+\left(p_{0}+r_{0}\right)q_{0}\right)\left(q_{0}+r_{0}\right) \end{array}\right) \] Utilisant locusconi, on reconnait une paramétrisation de $\coni a$, en homographie avec la paramétrisation usuelle utilisant le perspecteur, c'est à dire $\left[\dfrac{\left(q_{0}-r_{0}\right)p_{0}}{1},\,\dfrac{q_{0}\,\left(p_{0}+r_{0}\right)}{d},\,\dfrac{r_{0}\,\left(p_{0}+q_{0}\right)}{1+d}\right]$

Enfin, au voisinage de $P_{0}$, $\left(p_{0},q_{0},r_{0}\right)+\epsilon\left(1,s,-1-s\right)\mapsto M_{s}\where$ le point $M_{s}$ est le produit barycentrique de trois colonnes du premier degré, fournissant une description unicursale de la cubique $\kub$, en homographie avec la paramétrisation déjà donnée.

Cordialement, Pierre.

Edit: un peu de cosmétique.