Une résolution de triangle

RE

Le point $A$ est l'intersection de l'arc capable de l'angle $A$ décrit sur $BC$ et du cercle de rayon le double de la médiane et de centre le symétrique de $C$ par rapport à $B$.

J'ai pensé à déterminer les équations de ces deux cercles, etc. ; mais je subodore qu'il doit exister une solution plus classique.

A+

RE

Posons $BC = a, BN = n$ et $u = (BC, BN)$.
En combinant loi des cosinus (dans 2 triangles), théorème de la médiane et le fait qu'une médiane divise un triangle en deux triangles équivalents, j'arrive (sauf erreur de calcul) à l'équation suivante :
$3an\cos(u) + an\,\mathrm{cotan}(A)\sin(u) = a^2 + 2n^2$.
Cela me permet de construire l'angle $u$, puis le triangle $BCN$ dont on connaît le côté $BC$, le côté $BN$ et l'angle compris $u$, etc.
Si quelqu'un a une solution plus simple…
A+

RE

J'ai trouvé (avec mes notations) $a/n + 2n/a \lt [9 + cotan^2(A)]^{1/2}$.

A+

RE

Si je résous l'équation trigonométrique par la méthode de la tangente de l'arc moitié, j'obtiens une équation du second degré en $t$.
Si le terme constant est positif, donc si $a < n$ ou $a > 2n$, et si la condition susmentionnée (celle avec $cotan(A)$)est vraie, alors il y a deux racines distinctes ; ces deux racines sont positives si $cotan(A) > 0$ et négatives (exclues) sinon.
Si le terme constant est négatif, donc si $n < a < 2n$, alors il y a une racine positive et une négative.

Plus
si $a < n$ alors $A$ est aigu…
Et donc je vais revoir tout cela à tête reposée !

A+