Une bille qui roule sur une courbe

Je présume que tu veux dire : qui glisse sans frottement.

Dans le cas général, il faut effectivement faire intervenir le rayon de courbure $r$ au point considéré, à savoir (en valeur absolue) $r=\frac{|f''(x)|}{\sqrt{1+f'(x)^2}^3}$. Il faut aussi calculer l'angle entre la verticale et la normale à la courbe : son cosinus vaut $\frac{1}{\sqrt{1+f'(x)^2}}$. On écrit ensuite le principe de conservation de l'énergie mécanique pour trouver la vitesse au point $(x,f(x))$. Connaissant la vitesse, le rayon de courbure, l'angle entre la verticale et la normale, on peut comparer la force centrifuge et la composante centripète du poids du mobile. Sauf erreur de calcul de ma part, je trouve que, tant que l'inégalité suivante est respectée, le mobile reste en contact avec le support :

$1 + f'(x)^2 \geq 2(f(0)-f(x)) |f''(x)|$

Le mobile décolle si l'inégalité devient négative.

Ah, oui ! Le cas de la parabole est très intéressant. Le fait que l'inégalité $1 + f'(x)^2 > 2(f(0)-f(x)) |f''(x)|$ soit toujours vérifiée signifie que la bille ne décolle jamais du support.

Il existe une vitesse initiale horizontale telle que, si on l'applique à une bille B1, sa trajectoire en chute libre sera exactement celle de la parabole. Si on glisse un support sous la bille dont la forme est celle de la parabole, la réaction de ce support sur B1 sera nulle en tout instant.

Si maintenant, on fait glisser une bille B2 sans frottement le long du support parabolique sans vitesse initiale (ou une vitesse très petite pour lui faire quitter initialement sa position d'équilibre instable), alors la vitesse de B2 sera en tout point inférieure à celle de B1 et donc insuffisante pour annuler la réaction du support. Par conséquent, B2 restera perpétuellement en contact avec le support.

Bonjour,

@totem : es-tu sûr que le poids éjecte la bille de son support ? Vraiment ?

On peut adopter plusieurs points de vue.

1) Restons dans le référentiel galiléen lié à la courbe. Tant que la bille B de masse $m$ est en contact avec la courbe, elle est soumise à son poids et à une réaction normale à la courbe. Projetons ces deux forces selon le vecteur normal dirigé vers l'intérieur de la concavité. La somme des deux composantes est $mg_N - R$, avec $R > 0$, composante de la réaction vers l'extérieur de la concavité, et $mg_N = mg\cos(\theta)$, où $\theta $ est l'angle entre la verticale descendante et la normale intérieure. Par ailleurs, la composante normale de l'accélération est $\frac{V^2}{r}$, où $r$ est le rayon de courbure au point considéré. On a donc, d'après le principe fondamental de la dynamique :

$mg_N - R = m\frac{V^2}{r}$

On souhaite que $R \geq 0$, donc que $g_N \geq \frac{V^2}{r}$. Cette inégalité, tout calcul fait, conduit à celle énoncée plus haut dans notre discussion.

2) On aurait pu écrire aussi :

$mg_N = R + m\frac{V^2}{r}$

ou bien

$mg_N - R - m\frac{V^2}{r} = 0$

Cette dernière égalité s'interprète de la façon suivante dans un référentiel non galiléen dont l'origine $\Omega$ parcourt la courbe avec la même vitesse que la bille : $\Omega$ coïncide avec la bille tant que celle-ci ne décolle pas, mais les deux points se séparent quand la bille décolle. Par conséquent, tant que la bille ne décolle pas, l'accélération relative est nulle. La somme des forces (y compris les forces d'inertie) qui s'y appliquent est nulle. Les composantes normales de ces forces sont $mg_N$, dirigée vers l'intérieur de la courbe, $R$ dirigée vers l'extérieur et la force centrifuge $m\frac{V^2}{r}$, dirigée vers l'extérieur. J'avais implicitement adopté ce dernier schéma, car il me semble naturel de se placer du point de vue de la bille. On obtient une équation équivalente au 1).

3) Foin des accélérations normales et force centrifuge. Oublions tout cela. Si la bille décolle en un point $(x, f(x))$, sa trajectoire en chute libre est parabolique. Or, on connaît sa position initiale $(x,f(x))$, la direction de sa vitesse vectorielle, parallèle $(1,f'(x))$, le module de cette vitesse par le principe de convervation de l'énergie mécanique, et son accélération constante $g$. On peut donc en déduire l'équation de la parabole. Si $(X,Y)$ est un point de cette parabole, on trouve pour équation (calcul laissé au lecteur) :

$Y = f(x) + (X-x)f'(x) - \frac{1}{2}(X-x)^2\frac{1+f'(x)^2}{2(f(0)-f(x))}$

Il suffit alors de comparer la position de la parabole à celle de la courbe, en faisant un développement limité de l'équation de celle-ci au voisinage de $x$ :

$f(X) = f(x) + (X-x)f'(x) + \frac{1}{2}f''(x)(X - x)^2 + o((X-x)^2)$

La bille décolle en $x$ si et seulement si $Y > f(X)$ pour $X>x$, ce qui donne :

$- \frac{1}{2}\frac{1+f'(x)^2}{2(f(0)-f(x))} > \frac{1}{2}f''(x) + o(1)$

A l'inverse, si $- \frac{1}{2}\frac{1+f'(x)^2}{2(f(0)-f(x))} < \frac{1}{2}f''(x) + o(1)$, la bille ne décolle pas. En passant à la limite quans $X$ tend vers $x$, on retrouve la condition $- \frac{1+f'(x)^2}{2(f(0)-f(x))} \leq f''(x)$.

Je reprends à ma sauce la démonstration de @ptit euclide en détaillant la partie "tous calculs fait".

J'oriente la verticale vers le bas de sorte que le rayon de courbure soit positif.

En projetant la relation fondamentale sur la normale, on obtient que la réaction normale est égale à mg cos phi - mAn où phi est l'angle de la tangente avec Ox donc aussi celui de la normale avec Oy et An l'accélération normale , égale à v²/R où R est le rayon de courbure.

Pour que le contact demeure, il faut qu'il y ait une réaction positive d'où la condition g cos phi > v²/R

Or mv²/2 = mg h (où h = y-y0), donc v²=2gh d'où la condition

R cos phi > 2h

Or R = ds/d phi et cos phi = dx/ ds donc la condition s'écrit aussi
Sachant que tan phi = y', on obtient dx/ dphi = (1+y'²)/y" d'où la condition équivalente

1+y'²>2h y"

Pour le cas du cercle on obtient comme dit par @totem un angle au centre pour le décollage de arccos (2/3), du coup j'ai fait rajouter dans l'oeis cette information sur la page de cette constante : http://oeis.org/A228496
donnant les références :
http://e.m.c.2.free.fr/boule-sur-sphere.htm
et
https://arxiv.org/pdf/0808.3531.pdf

Quelques calculs :

On a comme abscisse d'envol et comme pente à ce moment :

pour y= e^x : x=ln(1+sqrt(2))= 0,8813735869, pente = 1+sqrt(2)


pour y = tan (x) : x= arccos(sqrt(sqrt(7)-2))= 0,6374995102, pente = (sqrt(7)+2)/3

pour y= ln(1-x) : x= 0,4723026030 pente ~ 1,9

pour y= sh x : x = argch(sqrt(3)) = 1,146215835 pente = sqrt(3)

pour y= x^a : x= 1/(a(a-2))^(1/(2(a-1))) uniquement pour a > 2, pas d'envol pour 1 <= a <= 2