Centres alignés
Bonjour à tous:
je voulais soumettre à votre sagacité ce problème tiré d'un ouvrage Japonais de 1841.
Soient $ABC$ un triangle avec $\angle A$ et $\angle C$ aigus et $H$ le pied de la perpendiculaire abaissée de $A$ sur $BC$.
Soit $O_1$ le cercle tangent intérieurement au cercle $O$ circonscrit au triangle $ABC$.
$O_1$ coupe les segments $[AH]$ et $[BH]$.
Soit $O_3$ le cercle tangent intérieurement en $O$, $AH$ et $CH$.
Soit enfin $O_2$ le cercle inscrit au triangle $ABC$ et $r_1, r_2, r_3$ les rayons de $O_1, O_2, O_3$ respectivement.
1. Montrer que $\displaystyle r_2=\frac{r_1+r_3}{2}$.
2. Montrer que les centres $O_1, O_2, O_3$ sont alignés.
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je voulais soumettre à votre sagacité ce problème tiré d'un ouvrage Japonais de 1841.
Soient $ABC$ un triangle avec $\angle A$ et $\angle C$ aigus et $H$ le pied de la perpendiculaire abaissée de $A$ sur $BC$.
Soit $O_1$ le cercle tangent intérieurement au cercle $O$ circonscrit au triangle $ABC$.
$O_1$ coupe les segments $[AH]$ et $[BH]$.
Soit $O_3$ le cercle tangent intérieurement en $O$, $AH$ et $CH$.
Soit enfin $O_2$ le cercle inscrit au triangle $ABC$ et $r_1, r_2, r_3$ les rayons de $O_1, O_2, O_3$ respectivement.
1. Montrer que $\displaystyle r_2=\frac{r_1+r_3}{2}$.
2. Montrer que les centres $O_1, O_2, O_3$ sont alignés.
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Réponses
Quand on propose un problème de géométrie, on se donne la peine de fournir une figure, surtout quand l'énoncé est ambigu.
Cordialement,
Rescassol
"Let $O_1$ be the circle internally tangent to the circumcircle $O$ of triangle $ABC$ and touching the segments $AH$ and $BH$."
La présentation suivante lève toute ambiguïté et a une portée plus générale.
$\textbf{Enoncé n°2}$: Soit un triangle $ABC$ et un point $T$ arbitraire sur le côté $c$ passant par $A$ et $B$.
$(M_1,r_1)$ (de centre $M_1$ et de rayon $r_1$) est un cercle tangent aux côtés $AT$ et $CT$ $\textbf{et}$ tangent intérieurement au cercle circonscrit au triangle $ABC$.
$(M_2,r_2)$ est un cercle tangent aux côtés $BT$, $CT$ $\textbf{et}$ tangent intérieurement au cercle circonscrit au triangle $ABC$.
Soit $(I,r)$ le cercle inscrit au triangle $ABC$.
$\textbf{1.}$ Montrer que les centres $M1, M_2$ et $I$ sont colinéaires.
$\textbf{2.}$ Si $\theta= \frac{1}{2} \angle{ATC}$, montrer que $\displaystyle \frac{\overline{M_1I}}{\overline{IM_2}}=\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$ et que $r_1\cos^2\theta + r_2 \sin^2\theta=r$.
...
Ayme J. -L., Sawayama and Thébault's theorem, Forum Geometricorum, vol. 3 (2003) 225-229
http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200325index.html
Sincèrement
Jean-Louis
Comme l'a montré Jean-Louis, les droites $PQ$ et $P^{\prime }Q^{\prime }$ (voir figure) passent par $I$ alors que les droites $PN$ et $P^{\prime }N^{\prime }$ passent par le milieu $J$ de l'arc $AB$ du cercle circonscrit opposé à $C$.
En outre, quand $T$ varie, $\left[ NN^{\prime }\right] $ passe également par un point fixe : le centre $D$ d'homothétie positive du cercle inscrit et du cercle circonscrit.
Bien cordialement. Poulbot