Inegalité dans la triangle

Bonjour aissalh,
D'après l'inégalité triangulaire, on a :
$b+c > a$
donc $b+c+b+c >a+b+c$
soit $2(b+c)>(a+b+c)$
ce qui conduit à :
$b+c>\dfrac{1}{2}(a+b+c).$

Ainsi, tu as :
$b+c>\dfrac{1}{2}(a+b+c),$
$ c+a>\dfrac{1}{2}(a+b+c),$
$ a+b>\dfrac{1}{2}(a+b+c).$
Donc :
$\dfrac{1}{b+c} <\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}(a+b+c)},$
$ \dfrac{1}{c+a} < \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}(a+b+c)},$
$\dfrac{1}{ a+b} <\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}(a+b+c)}.$
Ainsi, on a :
$\dfrac{a}{b+c} <\dfrac{2a}{(a+b+c)},$
$ \dfrac{b}{c+a} < \dfrac{2b}{(a+b+c)},$
$\dfrac{c}{ a+b} <\dfrac{2c}{(a+b+c)}$
ce qui donne par somme :
$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{ a+b} <\dfrac{2a}{(a+b+c)} +\dfrac{2b}{(a+b+c)}+ \dfrac{2c}{(a+b+c)} =\dfrac{2(a+b+c)}{(a+b+c)}=2. $
Cordialement