Aide sur la propriété des médianes
dans Géométrie
Bonsoir,
J’aimerais vous présenter une démonstration qui me semble incomplète du fait que les médianes d’un triangle se coupe en un même point au deux tiers de leur longueur. Voici la preuve :
Soit $ABC$ un triangle, et soit $A’,B’,C’$ les milieux des cotés respectifs $[BC],[AC],[AB]$. Soit $M$ le point d’intersection des droites $(AA’)$ et $(CC’)$. Comme $\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{BA’}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{A’C’}}{\overline{AC}}(=\frac{1}{2})$, d’après le thérorème de Thalès, les droites $(A’C’)$ et $(AC)$ sont parallèles. Toujours d’après le théorème de Thalès, on en déduit que $\frac{\overline{A’M}}{\overline{AM}}=\frac{\overline{C’M}}{\overline{CM}}=\frac{\overline{A’C’}}{\overline{AC}}=\frac{1}{2}$. Cela montre que $3\overline{A’M}=\overline{AA’}$. Avec un raisonnement identique portant sur le point d’intersection $M’$ de $(AA’)$ et $(BB’)$, on montre que $3\overline{A’M’}=\overline{AA’}$. On en déduit que $\overline{A’M}=\overline{A’M’}$.
Comment justifer maitenant que $M$ et $M’$ sont tous les deux à l’intérieur du triangle? Ce qui me permettra de conclure.
Merci d’avance,
B&B
J’aimerais vous présenter une démonstration qui me semble incomplète du fait que les médianes d’un triangle se coupe en un même point au deux tiers de leur longueur. Voici la preuve :
Soit $ABC$ un triangle, et soit $A’,B’,C’$ les milieux des cotés respectifs $[BC],[AC],[AB]$. Soit $M$ le point d’intersection des droites $(AA’)$ et $(CC’)$. Comme $\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{BA’}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{A’C’}}{\overline{AC}}(=\frac{1}{2})$, d’après le thérorème de Thalès, les droites $(A’C’)$ et $(AC)$ sont parallèles. Toujours d’après le théorème de Thalès, on en déduit que $\frac{\overline{A’M}}{\overline{AM}}=\frac{\overline{C’M}}{\overline{CM}}=\frac{\overline{A’C’}}{\overline{AC}}=\frac{1}{2}$. Cela montre que $3\overline{A’M}=\overline{AA’}$. Avec un raisonnement identique portant sur le point d’intersection $M’$ de $(AA’)$ et $(BB’)$, on montre que $3\overline{A’M’}=\overline{AA’}$. On en déduit que $\overline{A’M}=\overline{A’M’}$.
Comment justifer maitenant que $M$ et $M’$ sont tous les deux à l’intérieur du triangle? Ce qui me permettra de conclure.
Merci d’avance,
B&B
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Réponses
Une partie P du plan est convexe si, qqs. les points $x$ et $y$ et qqs. $k\in[0,1]$,
elle contient le point $p$ donné par $\overrightarrow{op}=k\, \overrightarrow{ox} + (1-k)\, \overrightarrow{oy}$
Le triangle $(abc)$, avec son bord et son intérieur, est défini comme l'enveloppe
convexe de $\{a,b,c\}$, i.e. l'intersection de tous les convexes qui contiennent $\{a,b,c\}$.
Il contient donc $a'$ donné par $\overrightarrow{oa'}=(1/2)\, \overrightarrow{ob} + (1/2)\, \overrightarrow{oc}$
et $g$ donné par $\overrightarrow{og}=(1/3)\, \overrightarrow{oa} + (2/3)\, \overrightarrow{oa'}$
($o$ est une origine)
deux démonstrations (géométrique et algébrique)
cordialement
Construction : symétrie centrale p/r O , le milieu de BC .
AB' = B'C $\rightarrow$ AG = GG' (Thalès)
GO = OG' (symétrie)
Etc.
D'autres raisonnements sur cette figure
conviennent aussi.
Une preuve à l'ancienne. On suppose trois masses égales aux sommets $A,B,C$ d'un triangle rigide et de masse surfacique nulle. On suspend le triangle par un fil attaché en $A$. Alors, l'immobilité est atteinte lorsque les masses $B$ et $C$ disposent du même bras de levier, autrement dit lorsque la médiane est verticale.
Cordialement, Pierre.