Al-Kashi à la Al-Kashi
Réponses
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Désolé pour le bruit; c'est évident...
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Tu peux aller voir dans le livre II des Éléments d’Euclide (propositions 12 et 13).Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
D'accord avec Nicoles Patrois.
Ce qui montre le ridicule d'avoir ainsi dénommé ce théorème, en France seulement (!), pour des raisons extra-mathématiques, anti-historiques, politico-idéologiques opportunistes.
Voir la discussion sur Wikipédia à ce propos : https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion:Loi_des_cosinus
Dans les ouvrages classiques et sérieux ce théorème, ou bien n'a pas d'appellation, ou bien s'appelle « loi des cosinus », ou bien « théorème de Pythagore généralisé ».
Nous devrions bannir cette appellation grotesque d'«Al Kashi ».
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Le « théorème de Thalès » était inconnu de Thalès, le « théorème de Pythagore » était inconnu de Pythagore… (en fait si)
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
(A) Etablir le théorème des projections (deux cas)
$a=b\cos\gamma+c\cos\beta$
(B) Résoudre le système
(1) $a=b\cos\gamma+c\cos\beta$
(2) $b=c\cos\alpha+a\cos\gamma$
(3) $c=a\cos\beta+b\cos\alpha$
$a(1)+b(2)-c(3)$ donne... -
nicolas.patrois écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1857550,1857576#msg-1857576
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Le théorème de Pythagore était déjà connu des mésopotamiens, égyptiens et chinois. Alors Pythagore... Ce que tu voulais certainement dire est que certainement Pythagore (et peut-être son école) n'en connaissait pas de démonstration. -
À ma connaissance, Pythagore était avant tout arithméticien et je ne sais pas si les traditions mathématiques mésopotamiennes, chinoises ou égyptiennes étaient connues des Grecs (notamment de Pythagore).Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Chaurien écrivait: " ou bien s'appelle « loi des cosinus », ou bien « théorème de Pythagore généralisé ». Nous devrions bannir cette appellation grotesque d'«Al Kashi ».
À l'oral du CAFEP, j'ai fait exprès de le nommer loi des cosinus (il y a une série de vidéo sur YT avec un professeur belge qui fait des exos de trigonométrie sur des parcours de randonneurs, il dit aussi loi des cosinus – il est complètement barré d'ailleurs, c'est rigolo). Et un juré m'a (gentiment) repris en disant « Le résultat que vous appelez Loi des cosinus ». -
Bonjour,
l'idée de base est d'ajouter le morceau qui manque à la figure et de faire apparaître $ABC$ comme la différence de deux triangles rectangles. On a alors
\begin{eqnarray*} AC^{2} & = & CH^{2}+HA^{2}\\ BC^{2} & = & CH^{2}+HB^{2}\\ AC^{2}-BC^{2}-BA^{2} & = & HA^{2}-HB^{2}-BA^{2}\\ & = & HB^{2}+BA^{2}+2HB.BA-HB^{2}-AB^{2}\\ & = & 2HB.BA \end{eqnarray*}
et le résultat suit... à condition de voir que les deux angles $B$ sont supplémentaires (fortement évident quand même) et de décider que le cosinus de l'angle obtus en $B$ (saumon) est l'opposé du cosinus de l'angle aigu en $B$ (lilas). Cette façon d'utiliser des nombres affectés d'un signe (i.e. des nombres algébriques) de façon à ne disposer que d'une seule formule pour traiter tous les cas est novatrice et récente... Pareil changement de concepts n'a ét possible que dans un contexte où l'on disposait enfin d'une façon efficace de poser les calculs. Essayez donc de calculer $(b^2-c^2-a^2)/(2ac)$ en écrivant les nombres à la sauce Euclide-Pythagore !
Pour l'annecdote, le fait que les noms d'Al Kashi, Omar Keyyam, y osotros, donnent des boutons aux vieux salafs ici et maintenant, ce n'est pas une vraie surprise. Déjà, en ces époques anciennes, cela braillait dur (qui se souvient du nom des braillards, et de même qui se souvient du nom des quarante clowns recrutés pour emmerder Corneille, etc.)
Cordialement, Pierre. -
Pourquoi vous ne le dites pas franchement : C'est le nom d'un mathématicien arabe qui vous agace. Non ?
Sachez que Al Kashi est celui qui a découvert cette loi.
Les logarithmes que vous attribuez à Euler ou Descartes sont l'invention des arabes. le théorème de Fermat a été copié coller d'un mathématicien qui s'appelle Al Hazen. La loi de Copernic a été volée aux arabes. Le premier qui a prédit la loi de conservation de la matière de Lavoisier c'est un originaire de Basorrah (Irak actuel) et se trouve dans certains manuscrits de Ibn Khaldoun, et a prédit la construction des bombes atomiques. La géométrie analytique a été utilisé par Al Khayyam qui l'a pris de Ibn al Haytham mais vous l'attribuez à Descartes. Le nombre néperien vous l'attribuez aux suisses mais certains manuscrits prouvent que ça vient des arabes. Ibn al Haytham a découvert le calcul des intégrales mais vous dites que ce sont les européens qui l'ont trouvé. La formule de Wilson a été volée aux arabes. La combinatoire vous l'attribuez aux européens, alors qu'elle se trouve dans les manuscrits de al Marrakchi et al Idrissi. La technologie des mains artificielles a été planifié par un arabe puis ce sont les japonais qui ont repris ce domaine ... etc
Vous avez construit tout le savoir humain sur le dos des arabes. Pauvres européens !. Il viendra un jour où les arabes deviendront libre et reproduirons le chemin glorieux de leurs ancêtres et vous reconquerrons à nouveau. B-)
[Les noms propres prennent toujours une majuscule. AD] -
Comme toujours, il n'y a jamais de place pour la nuance. Ce sont toujours les opinions les plus caricaturales qui sont mises en avant d'un côté comme de l'autre.
@ Pablo
Même s'il est vrai qu'il y a une tendance à déprécier les découvertes arabo-musulmanes chez certains, ton message, c'est un peu du grand n'importe quoi, comme ce que tu écris en maths d'ailleurs. -
Bonjour,
Pablo, tu n'as jamais été crédible, pas plus aujourd'hui qu'hier, en quoi que ce soit.
Et tu n'apportes pas plus de preuve dans cette diatribe débile que tu n'en a apporté dans tes élucubrations mathématiques.
Mais bon, si ça peut te défouler de continuer à dire n'importe quoi .............
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour ,
je crois que Pablo a oublié plein de trucs comme le paratonnerre , la relativité générale , la théorie des cordes ...
Je me demande comment ils ont fait pour garder tout cela secret pendant si longtemps jusqu’à ce que de vilains copieurs viennent diffuser ces inventions au plus grand nombre , à la réflexion de tout un chacun .
Cordialement -
Non il y'avait les arabes, les Perses, les pays du sud de l'ancien globe soviétique ... Tous les musulmans de l'empire arabe.
Même la théorie de Galois ainsi que le fondement de la théorie des algèbres de Lie, c'est suspect car seuls les arabes qui avait dans leur culture l'utilisation massive des symétrie dans leurs fresques dans les mosquées et les maisons traditionnels.
Si vous jetez un œil sur une vidéo diffusé sur Youtube qui présente une émission culturelle passée dans une chaîne française dont les invités étaient Ahmed Djebbar et Simon Gérard. Ahmed Djebbar dispose de manuscrits trouvés ces dernières années en Turquie qui prétendent que Ibn Al Haytham avait résolu les équations algébriques de 5 èmes degré. -
Les arabes sont les premiers et les derniers qui ont construit des machines qui fonctionnent sur le principe qui s'appelle en arabe : Al Tak'a al Khalida, traduit ( littéralement ) : énergie infinie ou perpétuelle. C'est à dire des machines qui fonctionnent mécaniquement mais sont alimentée par une énergie infinie mais sans générateur pour l'alimenter. C'est un grand mystère ça. Par exemple, les fontaines qui étaient réparties dans les villages en Andalousie au moyen age reposaient sur ce principe qu'on ignore aujourd'hui. Juste mécaniquement on peut créer une source d’énergie infinie sans alimentation. Malheureusement, lors des croisades tout a été détruit. On aurait épargné l'effort d'utiliser que le pétrole ou l’énergie fossile qui sont polluant.
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Heu non, il faut arrêter avec ça. Ce genre de machine à mouvement perpétuel n’existe pas.
Pour revenir au théorème dit par ici d’al Kashi, je l’ai connu sous ce nom au lycée il y a bientôt trente ans. Il n’y a pas besoin de chercher beaucoup pour en voir une version grecque chez Euclide (II-12 et II-13 selon si le triangle est obtus ou aigu respectivement). En revanche, il est clair qu’Euclide ne connaissait pas les lignes trigonométriques modernes (et encore moins le produit scalaire). Ses théorème sont des versions purement géométriques du théorème d’al Kashi où le cosinus est caché dans une longueur projetée.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Si tu lis ça : https://ar.wikipedia.org/wiki/أبو_الحسن_الإقليدسي , tu comprendras peut être, pourquoi Euclide n'a jamais existé, et que ce Euclide européen que vous vénérez n'est autre que Abou Al Hassan Al Euclidici qui est un géomètre arabe du moyen age qui a travaillé sur la formule de Al Khashi avant Al Kashi.
[Les noms propres prennent toujours une majuscule. AD] -
Je ne lis pas l’arabe et je me méfie comme de la peste des gens qui prétendent que les Arabes ont tout inventé (comme de ceux qui prétendent qu’ils n’ont rien inventé).Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
J'ai donné à plusieurs reprises des arguments contre cette appellation idiote de « théorème d'Al Kashi » qui n'existe dans le monde que dans le seul enseignement secondaire français, et depuis les années 1990.
(référence à un message caché supprimée.) -
Veuillez ne pas faire dévier ce fil. La question initiale est une question mathématique. Si vous voulez discuter de l'histoire des maths ou de l'histoire des sciences, veuillez ouvrir un autre sujet.
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Dans un triangle $ABC$ où $a,b,c$ désignent les longueurs de $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$, on considère $D$, le pied de la perpendiculaire à $(AB)$ issue de $C$.
Dans le triangle rectangle $BCD$, on écrit $\overline{BD}=a.\cos B$ et $\overline{CD}=a.\sin B$. Alors $\overline{DA}=|c-a.\cos B$| selon la valeur de l'angle en $A$.
On calcule alors $b^2=CD^2+AD^2=c^2+a^2-2ca \cos B$ dans le triangle rectangle $ACD$.
... -
Je rajoute les deux cas de figure (pour ne pas me faire gronder).
Ils ne sont pas trop durs à réaliser sur GeoGebra ceux-là !
... -
Bonjour,
L'utilisation de quantités algébriques (pouvant être positives ou négatives) est une chose récente, et qui ne faisait pas pas partie des habitudes de l'époque Euclide-Pythagore. Lorsque l'angle en $B$ est aigu, alors $AC$ est plus court, et la formule $AC^2=BA^2+BC^2-qsp$ exprime ce racourcissement. Lorsque l'angle $ABC$ est obtus, alors $AC$ est plus long et la formule $AC^2=BA^2+BC^2+qsp$ exprime ce rallongement. Il y a deux cas, et dans le deuxième cas, le véritable angle $B$ est l'angle $HBA$, celui qui est aigu et donc celui qui possède un cosinus (rapport du côté adjacent à l'hypothénuse). C'est cela qui se trouve dans les Elements et la suite de la géométrie dite grecque (ici, grecque est une datation et rien d'autre).
Changer de point de vue et considérer que les angles obtus ont eux aussi un cosinus, alors qu'ils ne sont pas utilisables dans un triangle rectangle est quelque chose de tout à fait novateur et difficile. Cela se voit encore aujourd'hui: il y a un gap à franchir (encore un cas où l'on voit l'ontogénèse suivre la philogénèse). Ecrire le deuxième cas sous la forme \[b^2=a^2+c^2-2\,a\,c\cos B\] et dire: on voit bien que cela rallonge, et il en est ainsi parce que $\cos B$ a été défini négatif pour des angle obtus... est ce qu'il faut bien finir par faire parce que cela est plus efficace. Mais cela n'est pas très intuitif... jusqu'à ce qu'une pratique suffisante fasse changer l'intuition.
En fait, l'objectif est d'arriver à une automatisation des raisonnements, de façon à ne plus avoir besoin de regarder une figure pour voir si cela s'ajoute, ou si cela se soustrait. Que peuvent bien y comprendre les énergumènes qui ne viennent ici que pour faire la propagande de leurs lubies ?
Cordialement, aux géomètres.
Pierre. -
Cette loi exprime aussi les cosinus des angles d'un triangle comme une fonction rationnelle des longueurs de ses côtés: $\displaystyle \cos B= \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
Si les longueurs des côtés d'un triangle sont des entiers, alors les cosinus de ses angles sont des rationnels.
Inversement, puisque, par exemple, le cosinus de $45°$ est l'irrationnel $\displaystyle \frac{\sqrt 2}{2}$, on peut en déduire qu'aucun triangle dont les longueurs des côtés sont des entiers, ne présente un angle mesurant $45°$.
... -
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe
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