Lieu des points
Bonjour,
on considère un trapèze $ABCD$ avec $AD$ et $BC$ parallèles. On cherche le lieu des points $Q$ (dans le plan du trapèze) tels que l'aire du triangle $AQB$ est égale à l'aire du triangle $DQC$.
Il me semble qu'il s'agit de la réunion de deux droites : celle qui passe par les milieux de $[AD]$ et $[BC]$, et celle qui est parallèle à $AD$ et passe par le point d'intersection des droites $AB$ et $CD$.
Quelqu'un a un argument simple pour justifier ces affirmations.
Merci.
on considère un trapèze $ABCD$ avec $AD$ et $BC$ parallèles. On cherche le lieu des points $Q$ (dans le plan du trapèze) tels que l'aire du triangle $AQB$ est égale à l'aire du triangle $DQC$.
Il me semble qu'il s'agit de la réunion de deux droites : celle qui passe par les milieux de $[AD]$ et $[BC]$, et celle qui est parallèle à $AD$ et passe par le point d'intersection des droites $AB$ et $CD$.
Quelqu'un a un argument simple pour justifier ces affirmations.
Merci.
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Réponses
Ne passerait on pas du cas trapèze quelconque au cas trapèze isocèle par quelque chose qui ressemblerait à une application affine conservant les rapport d'aires ? Une similitude, par exemple ?
Cordialement,
Rescassol
Edit: J'ai du dire une bêtise, je suis mal réveillé ............
Il y a deux cas, correspondant à une somme nulle et à une différence nulle des aires algébriques. On met en coordonnées, et cela tombe tout seul.
Cordialement, Pierre.
Etant donné un quadrangle $ABCD$ (qui n'est plus supposé être un trapèze), le lieu des points $M$ tels que $Aire\left( ABM\right) =Aire\left( CDM\right) $ est en général la réunion de $2$ droites passant par $AB\cap CD$.
Préciser ces $2$ droites.
Cordialement. Poulbot
Le problème n'est pas tant de montrer que le lieu de Poulbot est formé de deux droites que de donner leur construction effective.
Voici la mienne que j'ai certainement déjà dû donner ici même dans un passé indéterminé !
\begin{align*}
V_+&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'B'} \\
V_-&=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A'B'}
\end{align*} Et on a les égalités suivantes entre aires algébriques, attention à ne pas attraper de maux de tête avec ces maudits signes, vite un doliprane !
\begin{align*}
S(M_+,A,B)&=S(M_+,A',B')\\
S(M_-,A,B)&=-S(M_-,A',B')
\end{align*} Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
En déduire une construction du centre aréolaire d'une $FLTI$ donnée par deux de ses triangles!!
Exercice de style:
Donner une solution de cet exercice à la mode du Lebossé-Hémery de la classe de Seconde.
Peut-être figure-t-il dans la liste des exercices proposés dans cet ouvrage?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
J'avais bien noté à l'époque où j'étais encore en activité que ce livre ne figurait même pas dans les connaissances de mes agrégatifs.
C'est dire le niveau!
Une petite curiosité de ce livre:
Incroyable mais vrai!
On y définit les mesures des angles orientés de droites!
Et on en profite pour démontrer l'existence de la droite de Simson!
Il faut avoir lu au moins une fois cette définition qui d'après mes souvenirs un peu vagues devrait différer de celle donnée en Terminales!