Que sait-on de lui ?

Bonjour,

Comment choisir les paramètres avant d'avoir fini de résoudre un problème ? En y regardant bien, ce choix revient à identifier quel est le groupe agissant de la façon la plus appropriée... et cela revient non seulement à résoudre le problème, mais à résoudre une méta-reflexion autour du problème.

$\def\crra#1#2{\operatorname{cross\_ratio}{}_{#2}\left(#1\right)}
\def\tri#1{\mathcal{T}_{#1}} \def\trim#1{\boxed{\mathcal{T}_{#1}}} \def\cc{\mathbb{C}} \def\coni{\mathcal{C}} \def\conim#1{\boxed{\coni_{#1}}} \def\conis#1{\boxed{\coni_{#1}^{*}}} \def\etc{,\:\mathrm{etc}} \def\ptv{~;~} \def\where{\qquad\mathrm{where}\;} \def\tra#1{{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}} \def\linf{\mathcal{L}_{\infty}}$

La paramétrisation \[ T\mapsto\trim T=\left(\begin{array}{ccc} pT & q & r\\ p & qT & r\\ p & q & rT \end{array}\right) \] initialement proposée par Poulbot a le mérite de fournir un outil "pret à cuire". En effet, les trois birapports des colonnes homologues des quatre triangles $ABC$, $cevian\left(P\right)$, $P\cdot\linf$ et $\tri T,$ c'est à dire \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc} 0 & p & p\\ q & 0 & q\\ r & r & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc} p & p & p\\ q & q & q\\ r & r & r \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc} pT & p & p\\ q & qT & q\\ r & r & rT \end{array}\right] \] valent tous $\crra{\infty,0,1,T}{}=T$. Cela permet de programmer à l'économie les macros des tracés des coniques inscrites et circonscrites de perspecteur donné. Remarque: soit Geogebra gère mal les empilements de macro, soit je m'y prends mal, mais un appel depuis une macro à une autre macro finit quasi toujours par engendrer des drames.

En utilisant cette paramétrisation $\alpha$, le calcul donne, en effet, que les sommets de $\tri T,\,\tri U$ sont coconiques ssi $2TU+T+U=4$. Cette formule est symétrique, comme il se doit pour une involution.

Mais on sait que, rapportée à ses deux points fixes une homographie de $\overline{\cc}$ devient une multiplication. Les points fixes de la relation $\left(T,U\right)$ sont $1,-2$. Transmutant cela par \[ \psi:\;z\mapsto\frac{z+2}{z-1} \] nous obtenons la relation de coconicité sous la forme \[ s+t=0 \] au motif que la seule multiplication involutive est la multiplication par $-1$. Au passage, on remarque que $\psi$ est involutive, puissant motif pour prendre les points fixes dans cet ordre.

On obtient que les sommets de $\tri{+t}$ et de $\tri{-t}$ se situent sur la conique \[ \conim t\doteq t^{2}\conim{\infty}-2\conim 0\where\conim{\infty}\doteq\left[\begin{array}{ccc} 2\,q^{2}r^{2} & -pqr^{2} & -pq^{2}r\\ -pqr^{2} & 2\,p^{2}r^{2} & -p^{2}qr\\ -pq^{2}r & -p^{2}qr & 2\,q^{2}p^{2} \end{array}\right]\ptv\conim 0\doteq\left[\begin{array}{ccc} q^{2}r^{2} & pqr^{2} & pq^{2}r\\ pqr^{2} & p^{2}r^{2} & p^{2}qr\\ pq^{2}r & p^{2}qr & q^{2}p^{2} \end{array}\right] \] On obtient en outre que le centre $K_{t}$ de cette conique est donné par: \[ K_{t}=t^{2}K_{\infty}-2K_{0}\where K_{\infty}\doteq\left(p+q+r\right)\left(\begin{array}{c} p\\ q\\ r \end{array}\right)\simeq P\ptv K_{0}\doteq\left[\begin{array}{c} p\left(2\,p-q-r\right)\\ q\left(2\,q-r-p\right)\\ r\left(2\,r-p-q\right) \end{array}\right] \] et vient se situer sur la droite \[ \Delta\simeq\left[qr\left(q-r\right),\,rp\left(r-p\right),\,pq\left(p-q\right)\right] \]

Comme de juste, les deux coniques spéciales sont les deux coniques dégénérées de la famille. On peut vérifier que: \begin{eqnarray*} \coni_{0}\left(M\right) & = & \left(qr\,x+rp\,y+pq\,z\right)^{2}\\ C_{\infty}\left(M\right) & = & \left(qrx+j\,rpy+j^{2}\,pqz\right)\left(qrx+j^{2}\,rpy+j\,pqz\right)\where j^{3}=1 \end{eqnarray*} ce qui ne rend pas les choses très intuitives: $\coni_{0}$ est la tripolaire comptée deux fois, et $K_{0}$ est l'intersection $\coni_{0}\cap\Delta$. Quant à $\coni_{\infty}$... il est clair que le centre est en $P$... mais le reste l'est moins. Finalement, toutes ces coniques passent par \[ V_{1}\doteq\left(\begin{array}{c} p\\ j\,q\\ j^{2}\,r \end{array}\right)\ptv V_{2}\doteq\left(\begin{array}{c} p\\ j^{2}\,q\\ j\,r \end{array}\right) \] et $\coni_{\infty}$ est la réunion des deux tangentes communes (qui se coupent en $P$).

Une autre décomposition est: \[ \conim t=-pqr\left(t^{2}+2\right)\left[\begin{array}{ccc} 0 & r & q\\ r & 0 & p\\ q & p & 0 \end{array}\right]+2\,\left(t^{2}-1\right)\left[\begin{array}{ccc} q^{2}r^{2} & 0 & 0\\ 0 & p^{2}r^{2} & 0\\ 0 & 0 & q^{2}p^{2} \end{array}\right] \] On reconnait la conique circonscrite, et la conique autopolaire de la famille, dont le centre est... Et que l'on sait construire en...

Pour ce qui est des contacts, les lignes de $\tra{\trim t}\cdot\conim t$ décrivent le trigone polaire, et les colonnes de l'adjointe de cette matrice décrivent le triangle polaire lui-même. Quelqu'un simplifie le résultat (un ordinateur, par exemple), et le résultat donné par Poulbot vient aisément: le triangle polaire de $\tri{}\left(t\right)$ par rapport à la conique $\coni_{t}$ est le triangle $\tri{}\left(-t/2\right)$. Et les opérateurs commutent: multiplier par $-1/2$ commute avec multiplier par $-1$.

Cela dit, utiliser $t$ plutôt que $T$ revient à calculer les trois birapports des colonnes homologues des quatre triangles $P\cdot\linf$, $cut\_cevian$, $ABC$, $\tri t$ c'est à dire: \[ \left[\begin{array}{ccc} p & p & p\\ q & q & q\\ r & r & r \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc} -2\,p & p & p\\ q & -2\,q & q\\ r & r & -2\,r \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc} \dfrac{p\left(t+2\right)}{t-1} & p & p\\ q & \dfrac{q\left(t+2\right)}{t-1} & q\\ r & r & \dfrac{r\left(t+2\right)}{t-1} \end{array}\right] \] et à obtenir $t$ parce que $\crra{1,-2,\infty,\frac{t+2}{t-1}}{}=t$. Le problème reste que, lorsque l'on part de $A,B,C,P$, obtenir la droite d'homologie nécessite de tracer une forêt de droites ... ou de tricher en utilisant quelques demi-cercles bien choisis pour obtenir des quatrièmes harmoniques à partir du triangle cévien. Comme souvent, ce que l'on gagne d'une part, on le perd d'autre part.

On a bien avancé, mais il reste: que peut-on faire avec la droite $\Delta$, et en particulier avec le centre de la conique autopolaire. Un spoiler: je n'en sais rien pour l'instant !

cordialement, Pierre.