Une construction de triangle

Piteux_gore · October 2019

Bonjour,

Un autre petit exercice stimulant :
Construire un triangle $ABC$, connaissant $BC = a$, la médiane $AM = m$ et la différence angulaire $B - C = \delta$.

A+

pappus · October 2019

Mon cher Piteux_gore
Les points $B$ et $C$ étant donnés, il est bien connu que le lieu des points $A$ tels que la différence angulaire $B-C=\delta$ est connue est une hyperbole équilatère de centre $M$ le milieu de $BC$.
Il ne reste plus qu'à discuter l'intersection de cette hyperbole équilatère de centre $M$ avec un cercle lui aussi de centre $M$.
On sent que cela va être atroce!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Piteux_gore · October 2019

RE

On peut le faire sans introduire d'hyperbole, mais plus il y a de méthodes plus on rit.

A+

pappus · October 2019

Mon cher Piteux_gore
C'est exactement mon opinion, il faut connaître le maximum de solutions pour résoudre un problème, des plus élémentaires aux plus évoluées.
Cette histoire d'hyperbole, il faut la savoir et je crois qu'on l'a rencontrée, il n'y a pas si longtemps dans un autre fil.
On fait les calculs dans un repère orthonormé où les coordonnées des points de la figure sont:
$A(x,y)$, $B(-\frac a2,0)$, $C(\frac a2,0)$
Le lieu des points $A$ tels que $B-C=\delta$ est l'arc rouge de l'hyperbole équilatère d'équation:
$x^2-2xy\cot(\delta)-y^2=\dfrac{a^2}4$
Il faut discuter de son intersection avec le cercle d'équation: $x^2+y^2=m^2$
Amicalement
[small]p[/small]appus 90566

Piteux_gore · October 2019

RE

La solution que j'aie repose sur l'idée suivante :
il ne manque que l'angle entre $AM$ et $BC$ pour construire le triangle $ABM$ ou $ACM$.

A+

pappus · October 2019

Mon cher Piteux_gore
La résolution de mon système de deux équations quadratiques conduit très naturellement à l'utilisation de cet angle.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Piteux_gore · October 2019

RE

On place le symétrique $D$ de $A$ par rapport à la médiatrice de $BC$, ce qui revient à construire un trapèze isocèle $ABCD$ inscrit dans le cercle $(ABC)$ ; etc.

A+

pappus · October 2019

Mon cher Piteux_gore
Peux-tu commenter un peu plus ton etc final?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Piteux_gore · October 2019

RE

Un dessin vaut mieux que 100 discours.

Les angles $C$ et $E$ dotés d'un symbole égalent la différence angulaire donnée, $MD = MA$ et $ME$ se calcule aisément ; on peut donc construire $DME$, etc.

A+ 90594

pappus · October 2019

Mon cher Piteux_gore
Peux-tu nous exposer brièvement ta construction du triangle $DME$ ainsi que les conditions qu'elle implique?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Piteux_gore · October 2019

RE
On est dans le cas de la construction d'un triangle dont on connaît deux côtés et un angle non-compris ; il y a donc 0, 1 ou 2 solutions selon les données.

De manière plus précise, il y a :
une solution si $m > a/2$
ou si $m = a/2$ et $\delta < 90°$
ou si $m = a\sin(\delta)^{1/2}/2$ et $\delta < 90°$
deux solutions si $ a\sin(\delta)^{1/2}/2 < m < a/2$ et $\delta < 90°$.

A+

pappus · October 2019

Merci Piteux_gore
Je veux en effet comparer nos deux solutions et voir comment elles peuvent s'inscrire dans les programmes actuels.
Quelle est ton évaluation de la distance $ME$ et comment fais-tu pour l'obtenir?
Amicalement
[small]p[/small]appus