Point de Feuerbach
Bonjour,
Encore un problème posé par A.P. sur une liste voisine.
La droite $(OI)$ recoupe les côtés du triangle $ABC$ en $A', B', C'.$.
$O_a, O_b, O_c$ sont les centres des cercle circonscrits des triangles $AB'C', BC'A', CA'B'$
Alors, le point de Feuerbach du triangle $O_aO_bO_c$ est sur $(OI)$
Cordialement,
Rescassol
Encore un problème posé par A.P. sur une liste voisine.
La droite $(OI)$ recoupe les côtés du triangle $ABC$ en $A', B', C'.$.
$O_a, O_b, O_c$ sont les centres des cercle circonscrits des triangles $AB'C', BC'A', CA'B'$
Alors, le point de Feuerbach du triangle $O_aO_bO_c$ est sur $(OI)$
Cordialement,
Rescassol
Réponses
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Bonjour Rescassoll
Cela résulte de propriétés du quadrilatère complet.
Une droite $L$ coupant $BC,CA,AB$ respectivement en $U,V,W$, soient $O_{a},O_{b},O_{c}$ les centres des cercles $AVW,BWU,CUV$, $M$ le point de Miquel du quadrilatère complet $BC,CA,AB,L$ (point commun aux cercles $ABC,AVW,BWU,CUV$) et $M_{a},M_{b},M_{c}$ les symétriques de $M$ par rapport à $BC,CA,AB$.
Alors la droite $M_{a}M_{b}M_{c}$ (droite de Steiner de $M$) passe par l'orthopôle de $L$ relatif à $ABC$ et la même similitude directe de centre $M$ transforme $A,B,C$ en $O_{a},O_{b},O_{c}$ et $M_{a},M_{b},M_{c}$ en $U,V,W$.
Dans le cas qui nous intéresse, l'orthopôle de la droite $OI$ étant le point de Feuerbach de $ABC$, ton résultat en découle.
Amicalement. Poulbot -
Merci Poulbot, même si j'en sais vraiment trop peu pour les comprendre, j'apprécie énormément la limpidité très pédagogique de tes explications ! Surtout le fait que tu les rattaches à un domaine bien défini, le quadrilatère complet, et que tu donnes la clé du problème (orthopôle). Je n'ai plus qu'à bien me documenter sur ces questions ...
Merci encore, bien sincèrement !
Et merci aussi à Rescassol d'avoir lancé ce fil !
JLB -
Bonjour,
Merci Poulbot, pour cette solution limpide.
J'aurais quand même du voir que ces deux triangles avaient l'air semblables. Comme quoi, même si on a le nez dessus ........
J'avais bien sûr une solution avec Morley inscrit.
Cordialement,
Rescassol -
Bonsoir
Peut-on voir cette solution avec Morley ?
Merci. -
Bonjour,
Voilà, Bouzar:clc, clear all, close all; % On part du triangle de contact UVW syms u v w; syms uB vB wB; % Conjugués uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit vB=1/v; wB=1/w; syms s1 s2 s3; syms s1B s2B s3B; % Conjugués s1=u+v+w; % Fonctions symétriques s2=u*v+v*w+w*u; s3=u*v*w; s1B=s2/s3; % Conjugués s2B=s1/s3; s3B=1/s3; %----------------------------------------------------------------------- a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle b=2*w*u/(w+u); c=2*u*v/(u+v); aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués bB=2*wB*uB/(wB+uB); cB=2*uB*vB/(uB+vB); %----------------------------------------------------------------------- % Points A', B', C' où (OI) recoupe ABC o=2*s1/(s1*s1B-1); % Centre O du cercle circonscrit au triangle ABC oB=2*s1B/(s1*s1B-1); [ap apB]=IntersectionDeuxDroites(1,u^2,-2*u,oB,-o,0); % Point d'intersection de (BC) et (OI) ap=Factor(ap) % On trouve ap=2*s1*s3/((v+w)*(u^2+v*w)+2*s3) % De même, par permutation circulaire: bp=2*s1*s3/((w+u)*(v^2+w*u)+2*s3); cp=2*s1*s3/((u+v)*(w^2+u*v)+2*s3); bpB=2*s1B*s3B/((wB+uB)*(vB^2+wB*uB)+2*s3B); cpB=2*s1B*s3B/((uB+vB)*(wB^2+uB*vB)+2*s3B); %----------------------------------------------------------------------- % Cercles circonscrits aux triangles AB'C', BC'A', CA'B' [oa oaB Ra2]=CercleTroisPoints(a,bp,cp,aB,bpB,cpB); [ob obB Rb2]=CercleTroisPoints(b,cp,ap,bB,cpB,apB); [oc ocB Rc2]=CercleTroisPoints(c,ap,bp,cB,apB,bpB); oa=Factor(oa) Ra2=Factor(Ra2) % On trouve: % oa=-2*s1*s3*((s1*s3-s2^2) + s1*s2*(v+w))/(s2*(-2*s1^2*s3+s1*s2^2+s2*s3) + s1*s2*(s3-s1*s2)*(v+w) + s1*(s1^2*s2+s1*s3-2*s2^2)*v*w)) % Ra2=-4*s1*s2*s3*v^2*w^2*(u^2-v*w)^2/((v + w)^2*((u+v)*(u*v+w^2) + 2*s3)^2*((w+u)*(w*u+v^2) + 2*s3)^2) %----------------------------------------------------------------------- % Cercle d'Euler du triangle O_a O_b O_c as=Factor((ob+oc)/2) % D'abord les milieux des côtés bs=Factor((oc+oa)/2) cs=Factor((oa+ob)/2) asB=Factor((obB+ocB)/2) bsB=Factor((ocB+oaB)/2) csB=Factor((oaB+obB)/2) [om omB R2]=CercleTroisPoints(as,bs,cs,asB,bsB,csB); om=Factor(om) R2=Factor(R2) om=FracSym(om) % R2=FracSym(R2) % On trouve: om=-(s1*s2*s3*(s1^3*s2^2 - s1^2*s2*s3 + 2*s1*s3^2 - 2*s2^2*s3))/((s3 - s1*s2)*(s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3)) R2=s1^2*s2^2*s3^3*(- 2*s3*s1^2 + s1*s2^2 + s3*s2)*(s1^2*s2 + s3*s1 - 2*s2^2)/((s3 - s1*s2)^2*(s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3)^2) %----------------------------------------------------------------------- % Points d'intersection de ce cercle d'Euler et de la droite (OI) syms s1 s2 s3 % Pour réduire la taille des calculs, on oublie a,b,c s1B=s2/s3; % Conjugués s2B=s1/s3; s3B=1/s3; om=-(s1*s2*s3*(s1^3*s2^2 - s1^2*s2*s3 + 2*s1*s3^2 - 2*s2^2*s3))/((s3 - s1*s2)*(s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3)); omB=-(s1B*s2B*s3B*(s1B^3*s2B^2 - s1B^2*s2B*s3B + 2*s1B*s3B^2 - 2*s2B^2*s3B))/((s3B - s1B*s2B)*(s1B^4*s2B*s3B + s1B^3*s3B^2 - 4*s1B^2*s2B^2*s3B + s1B*s2B^4 + s2B^3*s3B)); R2=s1^2*s2^2*s3^3*(- 2*s3*s1^2 + s1*s2^2 + s3*s2)*(s1^2*s2 + s3*s1 - 2*s2^2)/((s3 - s1*s2)^2*(s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3)^2); syms z zB zB=oB*z/o; Nul=Factor((z-om)*(zB-omB)-R2) % Ô miracle, c'est scindé: Eq1=z*s1^4*s2*s3 - s1^3*s2^2*s3 + z*s1^3*s3^2 - 4*z*s1^2*s2^2*s3 + s1^2*s2*s3^2 + z*s1*s2^4 + z*s2^3*s3; Eq2=z*s1^5*s2^2*s3 - s1^4*s2^3*s3 + 2*s1^4*s3^3 - 4*z*s1^3*s2^3*s3 - z*s1^3*s3^3 + z*s1^2*s2^5 + 4*z*s1^2*s2^2*s3^2 - 3*s1^2*s2*s3^3 + 2*s1*s2^3*s3^2 - z*s2^3*s3^2; Eq1=collect(Eq1,z) Eq2=collect(Eq2,z) % D'où deux points: fe=s1^2*s2*s3*(s1*s2-s3)/(s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3); % C'est le point de Feuerbach de O_a O_b O_c m=s1*s3*(s1^3*s2^3-2*s1^3*s3^2+3*s1*s2*s3^2-2*s2^3*s3)/((s1*s2-s3)*(s1^4*s2*s3+s1^3*s3^2-4*s1^2*s2^2*s3+s1*s2^4+s2^3*s3)); %----------------------------------------------------------------------- % Droite (Fe Om) fe=s1^2*s2*s3*(s1*s2-s3)/(s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3); % C'est le point de Feuerbach de O_a O_b O_c feB=s1B^2*s2B*s3B*(s1B*s2B-s3B)/(s1B^4*s2B*s3B + s1B^3*s3B^2 - 4*s1B^2*s2B^2*s3B + s1B*s2B^4 + s2B^3*s3B); om=-(s1*s2*s3*(s1^3*s2^2 - s1^2*s2*s3 + 2*s1*s3^2 - 2*s2^2*s3))/((s3 - s1*s2)*(s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3)); omB=-(s1B*s2B*s3B*(s1B^3*s2B^2 - s1B^2*s2B*s3B + 2*s1B*s3B^2 - 2*s2B^2*s3B))/((s3B - s1B*s2B)*(s1B^4*s2B*s3B + s1B^3*s3B^2 - 4*s1B^2*s2B^2*s3B + s1B*s2B^4 + s2B^3*s3B)); [pfo qfo rfo]=DroiteDeuxPoints(fe,om,feB,omB); F=(s1*s2-s3)*(s1^4*s2*s3+s1^3*s3^2-4*s1^2*s2^2*s3+s1*s2^4+s2^3*s3)^2/(s1*s2*s3); pfo=Factor(F*pfo) qfo=Factor(F*qfo) rfo=Factor(F*rfo) % On trouve: pfo = (- 2*s3*s1^2 + s1*s2^2 + s3*s2)*(s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3); qfo = -s3*(s1^2*s2 + s3*s1 - 2*s2^2)*(s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3); rfo = -2*s1*s2*s3*(s3 - s1*s2)*(s3*s1^3 - s2^3); %----------------------------------------------------------------------- % Calcul de J centre du cercle inscrit dans O_a O_b O_c s1=u+v+w; % On réintroduit a,b,c s2=u*v+v*w+w*u; s3=u*v*w; s1B=s2/s3; % Conjugués s2B=s1/s3; s3B=1/s3; pfo = (- 2*s3*s1^2 + s1*s2^2 + s3*s2)*(s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3); qfo = -s3*(s1^2*s2 + s3*s1 - 2*s2^2)*(s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3); rfo = -2*s1*s2*s3*(s3 - s1*s2)*(s3*s1^3 - s2^3); fe=s1^2*s2*s3*(s1*s2-s3)/(s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3); % C'est le point de Feuerbach de O_a O_b O_c feB=s1B^2*s2B*s3B*(s1B*s2B-s3B)/(s1B^4*s2B*s3B + s1B^3*s3B^2 - 4*s1B^2*s2B^2*s3B + s1B*s2B^4 + s2B^3*s3B); syms z % Z, le futur J zB=-(pfo*z+rfo)/qfo; % On écrit que Z est sur (OI) [pj pjB]=ProjectionPointDroite(z,oa,ob,zB,oaB,obB); % Projeté orthogonal Pj de Z sur (O_a O_b) Nul=Factor((z-pj)*(zB-pjB)-(z-fe)*(zB-feB)) % On écrit que Z est équidistant de Pj et Fe % C'est encore scindé: Eq1=z*u^6*v^2*w + z*u^6*v*w^2 - 2*u^5*v^4*w + z*u^5*v^4 - 4*u^5*v^3*w^2 + 4*z*u^5*v^3*w - 4*u^5*v^2*w^3 + 8*z*u^5*v^2*w^2 - 2*u^5*v*w^4 + 4*z*u^5*v*w^3 + z*u^5*w^4 - 2*u^4*v^5*w + z*u^4*v^5 - 10*u^4*v^4*w^2 + 8*z*u^4*v^4*w - 14*u^4*v^3*w^3 + 18*z*u^4*v^3*w^2 - 10*u^4*v^2*w^4 + 18*z*u^4*v^2*w^3 - 2*u^4*v*w^5 + 8*z*u^4*v*w^4 + z*u^4*w^5 - 4*u^3*v^5*w^2 + 4*z*u^3*v^5*w - 14*u^3*v^4*w^3 + 18*z*u^3*v^4*w^2 - 14*u^3*v^3*w^4 + 24*z*u^3*v^3*w^3 - 4*u^3*v^2*w^5 + 18*z*u^3*v^2*w^4 + 4*z*u^3*v*w^5 + z*u^2*v^6*w - 4*u^2*v^5*w^3 + 8*z*u^2*v^5*w^2 - 10*u^2*v^4*w^4 + 18*z*u^2*v^4*w^3 - 4*u^2*v^3*w^5 + 18*z*u^2*v^3*w^4 + 8*z*u^2*v^2*w^5 + z*u^2*v*w^6 + z*u*v^6*w^2 - 2*u*v^5*w^4 + 4*z*u*v^5*w^3 - 2*u*v^4*w^5 + 8*z*u*v^4*w^4 + 4*z*u*v^3*w^5 + z*u*v^2*w^6 + z*v^5*w^4 + z*v^4*w^5 Eq2=- 4*u^8*v^4*w^2 + z*u^8*v^4*w - 12*u^8*v^3*w^3 + 5*z*u^8*v^3*w^2 - 12*u^8*v^2*w^4 + 8*z*u^8*v^2*w^3 - 4*u^8*v*w^5 + 4*z*u^8*v*w^4 - 2*u^7*v^6*w + z*u^7*v^6 - 20*u^7*v^5*w^2 + 8*z*u^7*v^5*w - 76*u^7*v^4*w^3 + 32*z*u^7*v^4*w^2 - 114*u^7*v^3*w^4 + 66*z*u^7*v^3*w^3 - 72*u^7*v^2*w^5 + 63*z*u^7*v^2*w^4 - 16*u^7*v*w^6 + 24*z*u^7*v*w^5 + 4*z*u^7*w^6 - 2*u^6*v^7*w + z*u^6*v^7 - 34*u^6*v^6*w^2 + 16*z*u^6*v^6*w - 166*u^6*v^5*w^3 + 80*z*u^6*v^5*w^2 - 354*u^6*v^4*w^4 + 202*z*u^6*v^4*w^3 - 346*u^6*v^3*w^5 + 272*z*u^6*v^3*w^4 - 152*u^6*v^2*w^6 + 186*z*u^6*v^2*w^5 - 24*u^6*v*w^7 + 63*z*u^6*v*w^6 + 8*z*u^6*w^7 - 20*u^5*v^7*w^2 + 8*z*u^5*v^7*w - 166*u^5*v^6*w^3 + 80*z*u^5*v^6*w^2 - 498*u^5*v^5*w^4 + 288*z*u^5*v^5*w^3 - 706*u^5*v^4*w^5 + 519*z*u^5*v^4*w^4 - 488*u^5*v^3*w^6 + 508*z*u^5*v^3*w^5 - 156*u^5*v^2*w^7 + 272*z*u^5*v^2*w^6 - 18*u^5*v*w^8 + 66*z*u^5*v*w^7 + 5*z*u^5*w^8 - 4*u^4*v^8*w^2 + z*u^4*v^8*w - 76*u^4*v^7*w^3 + 32*z*u^4*v^7*w^2 - 354*u^4*v^6*w^4 + 202*z*u^4*v^6*w^3 - 706*u^4*v^5*w^5 + 519*z*u^4*v^5*w^4 - 710*u^4*v^4*w^6 + 688*z*u^4*v^4*w^5 - 358*u^4*v^3*w^7 + 519*z*u^4*v^3*w^6 - 82*u^4*v^2*w^8 + 202*z*u^4*v^2*w^7 - 6*u^4*v*w^9 + 32*z*u^4*v*w^8 + z*u^4*w^9 - 12*u^3*v^8*w^3 + 5*z*u^3*v^8*w^2 - 114*u^3*v^7*w^4 + 66*z*u^3*v^7*w^3 - 346*u^3*v^6*w^5 + 272*z*u^3*v^6*w^4 - 488*u^3*v^5*w^6 + 508*z*u^3*v^5*w^5 - 358*u^3*v^4*w^7 + 519*z*u^3*v^4*w^6 - 126*u^3*v^3*w^8 + 288*z*u^3*v^3*w^7 - 16*u^3*v^2*w^9 + 80*z*u^3*v^2*w^8 + 8*z*u^3*v*w^9 - 12*u^2*v^8*w^4 + 8*z*u^2*v^8*w^3 - 72*u^2*v^7*w^5 + 63*z*u^2*v^7*w^4 - 152*u^2*v^6*w^6 + 186*z*u^2*v^6*w^5 - 156*u^2*v^5*w^7 + 272*z*u^2*v^5*w^6 - 82*u^2*v^4*w^8 + 202*z*u^2*v^4*w^7 - 16*u^2*v^3*w^9 + 80*z*u^2*v^3*w^8 + 16*z*u^2*v^2*w^9 + z*u^2*v*w^10 - 4*u*v^8*w^5 + 4*z*u*v^8*w^4 - 16*u*v^7*w^6 + 24*z*u*v^7*w^5 - 24*u*v^6*w^7 + 63*z*u*v^6*w^6 - 18*u*v^5*w^8 + 66*z*u*v^5*w^7 - 6*u*v^4*w^9 + 32*z*u*v^4*w^8 + 8*z*u*v^3*w^9 + z*u*v^2*w^10 + 4*z*v^7*w^6 + 8*z*v^6*w^7 + 5*z*v^5*w^8 + z*v^4*w^9 Eq1=collect(Eq1,z) Eq2=collect(Eq2,z) Eq1 = (s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3)*z + 2*s1*s2*s3*(- s2^2 + s1*s3); Eq2 = (s2 + s1*w)^2*(s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3)*z - 2*s1*s2*s3*(2*s1^3*s2^2*w - s3*s1^3*w^2 + s1^2*s2^2*w^2 - 2*s1*s2^3*w - s3*s1*s2^2 + s2^4); % Eq1 donne j=2*s1*s2*s3*(s2^2-s1*s3)/(s1^4*s2*s3+s1^3*s3^2-4*s1^2*s2^2*s3+s1*s2^4+s2^3*s3); % Invariant par permutation circulaire, donc c'est le bon J et c'est gagné % Eq2 donne: pjc=2*s1*s2*s3*(2*s1^3*s2^2*w - s3*s1^3*w^2 + s1^2*s2^2*w^2 - 2*s1*s2^3*w - s3*s1*s2^2 + s2^4)/((s2 + s1*w)^2*(s1^4*s2*s3 + s1^3*s3^2 - 4*s1^2*s2^2*s3 + s1*s2^4 + s2^3*s3)); % qui dépend de w, non invariant par p.c., c'est l'autre
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour Rescassol et merci
Je pense qu'une rescassolisation permet de prouver sans trop de difficultés les résultats classiques que j'ai rappelles plus haut (ICI).
Excepté ce qui a trait à l'orthopôle, on en trouvera une preuve "synthétique" ICI.
Le point de Miquel étant sur les cercles circonscrits aux triangles $ABC,AVW,AWU,AUV$, ses symétriques par rapport à $BC,CA,AB,L$ sont alignés sur une droite $L^{\prime }$ qui passe par les orthocentres $H,H_{a},H_{b},H_{c}$ de ces $4$ triangles.
Il s'agit de prouver que l'orthopôle $\Omega $ de $L$ relativement à $ABC$ est sur cette droite $L^{\prime }$.
Si $A^{\prime }$ et $B^{\prime }$ sont les projections de $A$ et $B$ sur $L$, $\Omega $ est sur les perpendiculaires en $A^{\prime }$ à $BC$ et en $B^{\prime }$ à $CA$,
Suivons alors l'astucieuse preuve centenaire $\left( 1918\right) $ de John W.Clawson.
Soient $Y$ et $Z$ les points d'intersection de la droite $AH_{a}A^{\prime }$ avec les droites $B^{\prime }\Omega $ et $WH_{b}$.
$H_{a}A^{\prime }$ et $H_{b}B^{\prime }$ étant parallèles ainsi que $A^{\prime }\Omega $ et $WH_{b}$, on a
$\left( B^{\prime }H_{a}B^{\prime }H_{b},B^{\prime }W,B^{\prime }\Omega \right) =\left( H_{a},\infty ,A^{\prime },Y\right) =\dfrac{\overline{H_{a}A^{\prime }}}{\overline{H_{a}Y}}=\dfrac{\overline{WA^{\prime }}}{\overline{WB^{\prime }}}=\dfrac{\overline{WZ}}{\overline{WH_{b}}}=\left( Z,H_{b},W,\infty \right) =\left( A^{\prime }H_{a},A^{\prime }H_{b},A^{\prime }W,A^{\prime }\Omega \right) $.
$A^{\prime },B^{\prime },W$ étant alignés, il en résulte que $H_{a},H_{b},\Omega $ le sont aussi (question indiscrète : pourquoi?).
Comme il se doit, Jean-Louis Ayme nous propose une belle preuve de ce résultat ICI. Il est également intéressant de consulter CECI
Bien cordialement. Poulbot -
Bonjour,
Dans le cas particulier de la droite $(OI)$, le point de Miquel en Morley inscrit est $X_{2720}=\dfrac{2s_1s_3(s_2^2-s_1s_3)}{s_2(s_1s_2^2+s_2s_3-2s_1^2s_3)}$Poulbot a écrit:Je pense qu'une rescassolisation permet de prouver sans trop de difficultés les résultats classiques que j'ai rappelles plus haut (ICI).clc, clear all, close all syms a b c; syms aB bB cB; % Conjugués aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c; syms s1 s2 s3; syms s1B s2B s3B; % Conjugués s1=a+b+c; s2=a*b+b*c+c*a; s3=a*b*c; s1B=s2/s3; s2B=s1/s3; s3B=1/s3; %----------------------------------------------------------------------- % Le triangle ABC est coupé en A', B', C' par une transversale uB z + u zB + r = 0 syms u uB syms r real uB=1/u; % u est de module 1 % Calcul de A', B', C' [ap apB]=IntersectionDeuxDroites(uB,u,r,1,b*c,-b-c); ap=Factor(ap) % On trouve: ap=u*((b+c)*u+b*c*r)/(u^2-b*c); apB=-(b+c+r*u)/(u^2-b*c); % Et permutation circulaire: bp=u*((c+a)*u+c*a*r)/(u^2-c*a); cp=u*((a+b)*u+a*b*r)/(u^2-a*b); bpB=-(c+a+r*u)/(u^2-c*a); cpB=-(a+b+r*u)/(u^2-a*b); %----------------------------------------------------------------------- % Point de Miquel M du quadrilatère complet [oa oaB Ra2]=CercleTroisPoints(a,bp,cp,aB,bpB,cpB); oa=Factor(oa) oaB=Factor(oaB) Ra2=Factor(Ra2) % On trouve: oa = -a*u*(s2*u+s3*r-u^3)/((u^2-a*b)*(u^2-c*a)); oaB = -(s1*u^2+r*u^3-s3)/((u^2-a*b)*(u^2-c*a)); Ra2 = b*c*u^2*(a^2+r*a*u+u^2)^2/((u^2-a*b)^2*(u^2-c*a)^2); % Et permutation circulaire: ob = -b*u*(s2*u+s3*r-u^3)/((u^2-b*c)*(u^2-a*b)); obB = -(s1*u^2+r*u^3-s3)/((u^2-b*c)*(u^2-a*b)); Rb2 = c*a*u^2*(b^2+r*b*u+u^2)^2/((u^2-b*c)^2*(u^2-a*b)^2); oc = -c*u*(s2*u+s3*r-u^3)/((u^2-c*a)*(u^2-b*c)); ocB = -(s1*u^2+r*u^3-s3)/((u^2-c*a)*(u^2-b*c)); Rc2 = a*b*u^2*(c^2+r*c*u+u^2)^2/((u^2-c*a)^2*(u^2-b*c)^2); % Le point de Miquel syms m mB=1/m NulM=Factor((m-oa)*(mB-oaB)-Ra2) % D'où l'équation: EqM=u^4 + a*m*u^2 + b*m*u^2 + c*m*u^2 + m*r*u^3 - a*b*u^2 - a*c*u^2 - b*c*u^2 - a*b*c*m - a*b*c*r*u; EqM=collect(FracSym(EqM,[a b c]),m) % EqM=(r*u^3 + s1*u^2 - s3)*m + u^4 - s2*u^2 - r*s3*u donc: m=u*(-u^3+s2*u+r*s3)/(r*u^3+s1*u^2-s3); mB=uB*(-uB^3+s2B*uB+r*s3B)/(r*uB^3+s1B*uB^2-s3B); %----------------------------------------------------------------------- % Symétrique M_a, M_b, M_c de M par rapport aux côtés de ABC [ma maB]=SymetriquePointDroite(m,b,c,mB,bB,cB); ma=Factor(ma) maB=Factor(maB) % On trouve: ma=(s3*b*c+s3*r*(b+c)*u+a*u^2*(b^2+b*c+c^2)-r*b*c*u^3-(b+c)*u^4)/(u*(s3*r+s2*u-u^3)); maB=(-s3*(b+c)-s3*r*u+(b^2+b*c+c^2)*u^2+r*(b+c)*u^3+u^4)/(b*c*(s1*u^2+r*u^3-s3)); % Et permutation circulaire: mb=(s3*c*a+s3*r*(c+a)*u+b*u^2*(c^2+c*a+a^2)-r*c*a*u^3-(c+a)*u^4)/(u*(s3*r+s2*u-u^3)) mc=(s3*a*b+s3*r*(a+b)*u+c*u^2*(a^2+a*b+b^2)-r*a*b*u^3-(a+b)*u^4)/(u*(s3*r+s2*u-u^3)) mbB=(-s3*(c+a)-s3*r*u+(c^2+c*a+a^2)*u^2+r*(c+a)*u^3+u^4)/(c*a*(s1*u^2+r*u^3-s3)); mcB=(-s3*(a+b)-s3*r*u+(a^2+a*b+b^2)*u^2+r*(a+b)*u^3+u^4)/(a*b*(s1*u^2+r*u^3-s3)); %----------------------------------------------------------------------- [or orB] = Orthopole(uB,u,r,a,b,c,u,uB,r,aB,bB,cB); or=Factor(or) orB=Factor(orB) % On trouve: or=(s1*u^2-r*u^3+s3)/(2*u^2); orB=(u^3+s2*u-s3*r)/(2*s3*u); % Droite (Or M_a) [pst qst rst]=DroiteDeuxPoints(or,ma,orB,maB); F=2*s3*u^2*(s1*u^2+r*u^3-s3)*(s2*u-u^3+s3*r)/(a^2*b^2*c^2*r + a^2*b^2*c*u + a^2*b*c^2*u + a^2*b*c*r*u^2 + a^2*b*u^3 + a^2*c*u^3 - a*b^2*c^2*u - a*b^2*c*r*u^2 - a*b^2*u^3 - a*b*c^2*r*u^2 - a*b*c*r^2*u^3 - a*b*r*u^4 - a*c^2*u^3 - a*c*r*u^4 - a*u^5 + b^2*c*u^3 + b*c^2*u^3 + b*c*r*u^4 + b*u^5 + c*u^5 + r*u^6); pst=Factor(F*pst) qst=Factor(F*qst) rst=Factor(F*rst) % On obtient: pst = -u*(- u^3 + s2*u + r*s3); qst = s3*(r*u^3 + s1*u^2 - s3); rst = - s1*u^4 - r*s2*u^3 + r*s1*s3*u + s2*s3; % Invariant par p.c. donc M_b et M_c sont dessus aussi %----------------------------------------------------------------------- % Transformation affine ABC ---> O_a O_b O_c - f(z) = S(1) z + S(2) zB + S(3) [S SB fixe fixeB D]=TransfoAffine(a,b,c,oa,ob,oc,aB,bB,cB,oaB,obB,ocB); Nul=Factor(fixe-m) % 0 donc M est le popint fixe Nul=Factor(S(2)) % 0 donc c'est une similitude directe Nul=Factor(S(1)*ma+S(3)-ap) % 0 donc M_a a pour image A', et permutation circulaire
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour.
Sur la figure, "on voit bien que" $E_0$ = X(11) est l'un des deux point de base du faisceau des cercles de Newton du quadrilatère formé par le trigone $ABC$ et la droite $OI$. Et le reste suit. Que se passe-t-il si l'on utilise un autre diamètre comme quatrième droite ?
Cordialement, Pierre.
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Bonjour!
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