L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Un exercice extrait du bac de Felix Klein
dans Géométrie
Bonjour,
Résoudre le triangle de côtés $a = 11, b = 9, c = 5$. (La réponse de l'heureux Felix montre qu’on attendait le calcul des angles et de l’aire.)
Comment fit Felix ?
Felix devait, je pense, disposer des formules suivantes :
$sin(A/2) = [(p - b)(p - c)/bc]^{1/2}, cos(A/2) = [p(p - a)/bc]^{1/2}, tan(A/2) = [(p - b)(p - c)/p(p - a)]^{1/2}$
et $cos(A) = (b^2 + c^2 – a^2)/2bc$.
Les formules donnant $tan(A/2), tan(B/2), tan(C/2)$ n'exigent que quatre logarithmes, contre sept pour les formules donnant les sinus/cosinus des mêmes angles ; quant à la loi des cosinus, elle impliquait l'introduction d'un angle auxiliaire destiné à faciliter le calcul logarithmique.
On peut donc penser à la solution suivante :
- Felix calcula $p, p - a, p - b, p - c$ puis leurs logarithmes décimaux
- Felix calcula $log(tan(A/2)) = [log(p - b) + log(p - c) - log(p) - log(p - a)]/2$
- Felix calcula $log(tan(B/2))$ itou
- Felix détermina $A/2, B/2$ par les tables
- Felix calcula l'aire par la formule de Héron, en réutilisant les 4 logarithmes connus.
A+
Résoudre le triangle de côtés $a = 11, b = 9, c = 5$. (La réponse de l'heureux Felix montre qu’on attendait le calcul des angles et de l’aire.)
Comment fit Felix ?
Felix devait, je pense, disposer des formules suivantes :
$sin(A/2) = [(p - b)(p - c)/bc]^{1/2}, cos(A/2) = [p(p - a)/bc]^{1/2}, tan(A/2) = [(p - b)(p - c)/p(p - a)]^{1/2}$
et $cos(A) = (b^2 + c^2 – a^2)/2bc$.
Les formules donnant $tan(A/2), tan(B/2), tan(C/2)$ n'exigent que quatre logarithmes, contre sept pour les formules donnant les sinus/cosinus des mêmes angles ; quant à la loi des cosinus, elle impliquait l'introduction d'un angle auxiliaire destiné à faciliter le calcul logarithmique.
On peut donc penser à la solution suivante :
- Felix calcula $p, p - a, p - b, p - c$ puis leurs logarithmes décimaux
- Felix calcula $log(tan(A/2)) = [log(p - b) + log(p - c) - log(p) - log(p - a)]/2$
- Felix calcula $log(tan(B/2))$ itou
- Felix détermina $A/2, B/2$ par les tables
- Felix calcula l'aire par la formule de Héron, en réutilisant les 4 logarithmes connus.
A+
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
(1) L'aire $S$ via Héron
(2) $2R = abc/(2S)$
(3) $\sin\alpha = a/(2R)$ etc.
J'ai gardé ma table numérique avec un chapitre
$Log_{10}\sin t$
Je reformule le problème :
Qu'eût fait Felix si $a, b, c$ n'avaient pas été des valeurs simples ?
La deuxième solution exige le calcul de
$log(p), log(p - a), log(p - b), log(p - c), log(a), log(b), log(c), log(2)$
puis $3$ lectures de table pour trouver $S, sin(A), sin(B)$ à partir de leurs logs.
A+
"...si a,b,c n'avaient pas été des valeurs simples ? ..."
Rajouter des conditions ou des hypothèses après coup
pour essayer de ridiculiser une contribution est inqualifiable.
... tout bien réfléchi, c'est qualifiable.
Je viens de dénicher dans le Journal de Mathématiques élémentaires de 1877 un exemple détaillé de résolution, que je résume ici.
Résoudre un triangle connaissant $a, b, C$.
On calcule $(A+B)/2$.
On calcule $\tan(\phi) = b/a$.
On calcule $\tan(A/2 -B/2) = \tan(A/2 +B/2)\tan(45 - \phi)$.
On calcule $c = a.\sin(C)/\sin(A)$.
On calcule $S = ab.\sin(C)/2$.
Et enfin...