Un exercice extrait du bac de Felix Klein

Bonjour,

Résoudre le triangle de côtés $a = 11, b = 9, c = 5$. (La réponse de l'heureux Felix montre qu’on attendait le calcul des angles et de l’aire.)

Comment fit Felix ?
Felix devait, je pense, disposer des formules suivantes :
$sin(A/2) = [(p - b)(p - c)/bc]^{1/2}, cos(A/2) = [p(p - a)/bc]^{1/2}, tan(A/2) = [(p - b)(p - c)/p(p - a)]^{1/2}$
et $cos(A) = (b^2 + c^2 – a^2)/2bc$.
Les formules donnant $tan(A/2), tan(B/2), tan(C/2)$ n'exigent que quatre logarithmes, contre sept pour les formules donnant les sinus/cosinus des mêmes angles ; quant à la loi des cosinus, elle impliquait l'introduction d'un angle auxiliaire destiné à faciliter le calcul logarithmique.
On peut donc penser à la solution suivante :
- Felix calcula $p, p - a, p - b, p - c$ puis leurs logarithmes décimaux
- Felix calcula $log(tan(A/2)) = [log(p - b) + log(p - c) - log(p) - log(p - a)]/2$
- Felix calcula $log(tan(B/2))$ itou
- Felix détermina $A/2, B/2$ par les tables
- Felix calcula l'aire par la formule de Héron, en réutilisant les 4 logarithmes connus.

A+