Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos)
Un exercice extrait du bac de Felix Klein
dans Géométrie
Bonjour,
Résoudre le triangle de côtés $a = 11, b = 9, c = 5$. (La réponse de l'heureux Felix montre qu’on attendait le calcul des angles et de l’aire.)
Comment fit Felix ?
Felix devait, je pense, disposer des formules suivantes :
$sin(A/2) = [(p - b)(p - c)/bc]^{1/2}, cos(A/2) = [p(p - a)/bc]^{1/2}, tan(A/2) = [(p - b)(p - c)/p(p - a)]^{1/2}$
et $cos(A) = (b^2 + c^2 – a^2)/2bc$.
Les formules donnant $tan(A/2), tan(B/2), tan(C/2)$ n'exigent que quatre logarithmes, contre sept pour les formules donnant les sinus/cosinus des mêmes angles ; quant à la loi des cosinus, elle impliquait l'introduction d'un angle auxiliaire destiné à faciliter le calcul logarithmique.
On peut donc penser à la solution suivante :
- Felix calcula $p, p - a, p - b, p - c$ puis leurs logarithmes décimaux
- Felix calcula $log(tan(A/2)) = [log(p - b) + log(p - c) - log(p) - log(p - a)]/2$
- Felix calcula $log(tan(B/2))$ itou
- Felix détermina $A/2, B/2$ par les tables
- Felix calcula l'aire par la formule de Héron, en réutilisant les 4 logarithmes connus.
A+
Résoudre le triangle de côtés $a = 11, b = 9, c = 5$. (La réponse de l'heureux Felix montre qu’on attendait le calcul des angles et de l’aire.)
Comment fit Felix ?
Felix devait, je pense, disposer des formules suivantes :
$sin(A/2) = [(p - b)(p - c)/bc]^{1/2}, cos(A/2) = [p(p - a)/bc]^{1/2}, tan(A/2) = [(p - b)(p - c)/p(p - a)]^{1/2}$
et $cos(A) = (b^2 + c^2 – a^2)/2bc$.
Les formules donnant $tan(A/2), tan(B/2), tan(C/2)$ n'exigent que quatre logarithmes, contre sept pour les formules donnant les sinus/cosinus des mêmes angles ; quant à la loi des cosinus, elle impliquait l'introduction d'un angle auxiliaire destiné à faciliter le calcul logarithmique.
On peut donc penser à la solution suivante :
- Felix calcula $p, p - a, p - b, p - c$ puis leurs logarithmes décimaux
- Felix calcula $log(tan(A/2)) = [log(p - b) + log(p - c) - log(p) - log(p - a)]/2$
- Felix calcula $log(tan(B/2))$ itou
- Felix détermina $A/2, B/2$ par les tables
- Felix calcula l'aire par la formule de Héron, en réutilisant les 4 logarithmes connus.
A+
Réponses
-
(0) Tester $b^2+c^2-a^2$
(1) L'aire $S$ via Héron
(2) $2R = abc/(2S)$
(3) $\sin\alpha = a/(2R)$ etc.
J'ai gardé ma table numérique avec un chapitre
$Log_{10}\sin t$ -
RE
Je reformule le problème :
Qu'eût fait Felix si $a, b, c$ n'avaient pas été des valeurs simples ?
La deuxième solution exige le calcul de
$log(p), log(p - a), log(p - b), log(p - c), log(a), log(b), log(c), log(2)$
puis $3$ lectures de table pour trouver $S, sin(A), sin(B)$ à partir de leurs logs.
A+Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos) -
"Je reformule le problème ..."
"...si a,b,c n'avaient pas été des valeurs simples ? ..."
Rajouter des conditions ou des hypothèses après coup
pour essayer de ridiculiser une contribution est inqualifiable.
... tout bien réfléchi, c'est qualifiable. -
RE
Je viens de dénicher dans le Journal de Mathématiques élémentaires de 1877 un exemple détaillé de résolution, que je résume ici.
Résoudre un triangle connaissant $a, b, C$.
On calcule $(A+B)/2$.
On calcule $\tan(\phi) = b/a$.
On calcule $\tan(A/2 -B/2) = \tan(A/2 +B/2)\tan(45 - \phi)$.
On calcule $c = a.\sin(C)/\sin(A)$.
On calcule $S = ab.\sin(C)/2$.
Et enfin...Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos)
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