Quatre droites et une deltoïde

poulbot · October 2019

Bonjour
La figure représente un quadrilatère complet et l'unique deltoïde tangente aux $4$ côtés du quadrilatère.
Le quadrilatère étant donné, comment construire le cercle tritangent à la deltoïde et les points où elle touche les côtés du quadrilatère complet.
On pourra faire intervenir les centres $O,O_{a},O_{b},O_{c}$ des cercles $ABC,AVW,BWU,CUV$.
Amicalement. Poulbot 90736

Dasson · October 2019

Bonjour,
Pas de réponse exacte à la question mais une approche qui peut intéresser des lecteurs ?
Attention, c'est une vidéo !

Rescassol · October 2019

Bonjour,

Je rêve de lire un message de Dasson avec des maths sans lien vers ailleurs, mais ce n'est qu'un rêve, je ne vivrai pas assez vieux pour ça ..............
Poulbot, je vais réfléchir à ton problème, pour le moment, tout ce que je peux dire, c'est que $O,O_a,O_b,O_c,M$ sont cocycliques ($M$ étant le point de Miquel). Il doit y avoir de la droite de Simson dans l'histoire, à voir ......

Cordialement,

Rescassol

Dasson · October 2019

@ Rescassol
Pour une fois qu'il est question de deltoïde, j'ai sorti mon muscle(:P)
j'ai prévenu par "attention, c'est une vidéo" pour que tu ne cliques pas !
Ailleurs, c'est chez moi, avec du papier qui bouge et qui parle.
Désolé de t'avoir importuné.

pldx1 · October 2019

Bonjour.

Finalement, la question se ramène à : qui est $Q_x$ ?

Cordialement, Pierre. 90794

pldx1 · October 2019

Une légende pour la figure ci-dessus.

Pour construire cette figure, on part d'un triangle $ABC$. On indexe par $x$ les objets remarquables de ce triangle: $cir_x$ le circonscrit, $O_x$ =X(3), $H_x$=X(4), $E_x$=X(5). On trace le deltoide de Simson de ce triangle.

On considère quatre droites de Simson $L_0L_aL_bL_c$ relatives au triangle $ABC$. Le but est de voir ce que l'on peut apprendre sur $ABC$ à partir de ces quatre droites.

On a donc quatre trois-lignes, dont $T_0 =A'B'C'$, $T_a=A'B''C''$, etc. On fait tourner la machine quadrilatérale: Newton, Steiner, Miquel. On voit immédiatement que les médiatrices $O_jH_j$ sont intéressantes, ainsi que les droites $E_jL_j^\perp$.

D'où la question: que peut-on faire de $Q_x$ ?

Cordialement, Pierre.

pldx1 · October 2019

Et la réponse $\alpha\mapsto E_{x}+2\,\rho\,\alpha+\overrightarrow{E_{x}Q_{x}}\,\dfrac{2\,q_{4}}{q_{2}}\,\frac{1}{\alpha^{2}}
$ avec $\tau_{j}=\left(\omega-O_{j}\right)/\rho$

poulbot · October 2019

Bonjour

Les orthocentres $h,h_{a},h_{b},h_{c}$ des triangles $O_{a}O_{b}O_{c},OO_{b}O_{c},O_{a}OO_{c},O_{a}O_{b}O$ sont respectivement sur les droites $UV,BC,CA,AB$ et sont les images de $O,O_{a},O_{b},O_{c}$ par une symétrie centrale car ces $4$ derniers points sont cocycliques.
Le cercle tritangent à la deltoïde est le cercle $hh_{a}h_{b}h_{c}$ et s'il recoupe les côtés du quadrilatère en $h^{\prime },h_{a}^{\prime },h_{b}^{\prime },h_{c}^{\prime }$, les points de contact de la deltoïde avec ces côtés sont les symétriques de ces $4$ points par rapport aux orthocentres correspondants.

On peut prouver cela par un gros calcul (je pense qu'il vaut mieux alors partir d'une paramétrisation d'une deltoïde et de $4$ tangentes quelconques) ou le déduire d'une lecture attentive des multiples propriétés des deltoïdes que l'on trouve dans le remarquable livre de Julien Lemaire : Hypocycloïdes et épicycloïdes - Vuibert 1929, réédité en 1967 par Albert Blanchard.

Le centre du cercle tritangent est un point cher à Jean-Louis Ayme (voir Point de Kantor-Hervey).

Amicalement. Poulbot 90840

pldx1 · October 2019

Bonjour,

En effet, le cercle tritangent est centré en $E_x$, concours des médiatrices $O_j H_j$ et de même rayon $\rho$ que le cercle de Miquel des quatre droites. Ce résultat est dans Morley, 1903. Ce cercle passe donc par les orthocentres $h_j$ des triangles du quadrangle $O_0O_aO_bO_c$.

Cordialement, Pierre.

pldx1 · October 2019

Bonsoir.

Le point menant $G_x$ se déplace sur le cercle de Miquel. Le point $G=\omega+E_x-G_x$ se déplace sur le cercle tritangent. Au bout d'un bras de levier double, $\overrightarrow {E_x G'}=2 \overrightarrow {E_x G'}$, le vecteur $\overrightarrow{G' G''}$ tourne à contre sens et deux fois plus vite. And, guess what ? Le deltoide sort de sa boite.

Cordialement, Pierre.

(clicker sur l'image pour lancer l'animation) 90862

pldx1 · October 2019

Bonjour.

Le mystérieux $Q_x$, appelé "point de Morley" par Levelut y osotros, est tout simplement "the mean orthocenter". Et donc le nommer $H_m$ serait du meilleur effet. Cela donne \[ H_m = \left(H_a+H_b+H_c+H_0\right)/4 \].
Rien d'étonnant à ce qu'il se trouve sur l'axe de Steiner !

Cordialement, Pierre.

PS. Une référence bien utile:

@article{clawson:19,
Title={The Complete Quadrilateral},
Author={Clawson, John Wentworth},
Journal={Annals of Mathematics, Second Series}, 
Volume=20, 
Number=4,
Month=jul, 
year=1919,
pages= {232-261},
eprint={http://www.jstor.org/stable/1967118},
}

Rescassol · October 2019

Bonjour,

Est il possible de trouver un triangle "naturel" dont la deltoïde serait la deltoïde de Steiner ?

Cordialement,

Rescassol

pappus · October 2019

Mon cher Rescassol
J'ai retrouvé dans mes archives une figure qui doit répondre au moins partiellement à ta question.
Elle utilise une construction fort connue, (elle n'est pas de moi!), des trois droites de Simson issues d'un point.
Comme cette figure date d'au moins dix ans, je ne me souviens plus de ce que j'ai fait!
Il faudra la déchiffrer!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
En rescassolisant, je pense qu'il faudrait trouver tes sommets comme racines d'un polynôme du troisième degré dont les coefficients dépendraient des affixes $a$, $b$, $c$ des points $A$, $B$, $C$ et de l'affixe $\rho$ du point $P$. 91040

Quatre droites et une deltoïde

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