Isométries 3D
Réponses
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Je pencherais pour une rotation de 180° centrée sur le sommet commun . Mais ça me parait trop facile .
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Bonjour,
fm_31, une rotation 3D a un axe et non un centre.
Cordialement,
Rescassol -
Quel(s) axe(s) pour ton demi-tour, fm31 ? (Je retarde !)
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Bonjour
Si $s$ est la symétrie centrale et $r:T_1\mapsto T_2$ la rotation cherchée, alors: $\sigma= r.s: T_2\mapsto T_2$ est un antidéplacement conservant $T_2$.
On prend pour $\sigma$ une symétrie plane par rapport à un plan contenant une arête de $T_2$ et médiateur de l'arête opposée.
Alors $r=\sigma.s$ est une rotation adéquate.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Il y a douze antidéplacements conservant T2. Pourquoi pappus n'en-considère-t-il que six ?
On pourrait se dire, parce que que ces six là, composés avec la symétrie centrale, donnent des rotations. Mais ce n'est même pas vrai : trois d'entre eux, quand on les compose avec la symétrie centrale, donnent des vissages qui ne sont pas des rotations.
Quand on ne garde que les trois bons parmi ceux que décrit pappus, on retrouve les trois demi-tours d'axes passant par l'origine qui font l'affaire. -
Ça m'étonnerait qu'il y ait des vissages parmi les douze antidéplacements. :-D
Soland, je me demande si tu as bien lu le message de pappus auquel je répondais. -
Merci GaBuZoMeu de me remonter les bretelles.
Cela me rajeunit un peu!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Je dirais une rotation d’axe parallèle aux « bases » et perpendiculaire à un des trois autres côtés.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Vu que aucun des "trois autres côtés" n'est perpendiculaire aux "base", il y a très peu de chances d'avoir un axe parallèle aux "bases" et perpendiculaire à un des "trois autres côtés".
Les axes de demi-tour qui vont bien sont les parallèles à un des "arêtes de base" passant par le centre de symétrie. -
Bonjour
Sur les six symétries planaires que j'ai considérées conservant $T_2$, il suffit de choisir celles dont le plan de symétrie passe par le centre de symétrie $O$ de la figure de Soland c'est à dire les plans médiateurs des trois arêtes de $T_2$ ne passant pas par $O$.
J'ai effectivement oublié six antidéplacements.
Ce n'est pas que je les avais oubliés mais ma paresse congénitale m'a empêché de réfléchir dessus!
Et je savais que nos spécialistes du groupe du tétraèdre étaient sur la brèche!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Un peu de concret
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Bonjour,
Christoph, avec quel logiciel fais tu toutes ces jolies figures en 3D ?
Cordialement,
Rescassol -
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Vous faites implicitement l'hypothèse que les sommets sont indiscernables (ne peuvent pas être numérotés).
Cette hypothèse n'est pas valide quand on réalise le tétraèdre avec par exemple des allumettes, et dans ce cas aucune rotation ne convient puisque la symétrie centrale change l'orientation de l'espace (change une main droite en main gauche).
C'est important en physique (symétrie P = parité) et en chimie (chiralité). -
Bonjour à tous,
@ Horza : non, ce me semble, une symétrie par rapport à un centre, ou par rapport à un axe, ne change pas l'orientation de l'espace, et en tout cas ne change pas une main droite en une main gauche, comme le fait une symétrie par rapport à un plan.
En stéréochimie, la chiralité d'une molécule se définit comme le fait que la molécule considérée n'est pas superposable, par simple translation ou rotation dans l'espace, à son image dans un miroir, ce qui est lié à l'absence de tout plan de symétrie interne à la molécule.
Bien cordialement
JLB -
Dans « l'espace » (dans un espace de dimension trois), le déterminant d'une symétrie centrale vaut $-1$.
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Une symétrie centrale dans l'espace est bien une isométrie indirecte, produit de trois symétries planes. Elle change l'orientation et transforme une main droite en main gauche.
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Bonjour
Merci à Math Coss et à GaBuZoMeu.
@jelobreuil : une approche alternative pour se convaincre qu'une réflexion par un point ne peut être obtenue par composition de rotations consiste à remarquer qu'il est possible de la réaliser en composant une rotation et une réflexion par un plan.
Pour exprimer cela brièvement on peut introduire une base orthonormée e1 e2 e3.
La rotation d'angle pi dans le plan engendré par e2 et e3 retourne ces deux vecteurs et laisse e1 inchangé. Il faut ensuite retourner e1 sans changer e2 et e3, ce qui s'obtient par la réflexion par le plan e2 e3.
On voit donc ainsi clairement qu'une symétrie centrale est, à une rotation près, "équivalente" à une symétrie par rapport à un plan. -
Mon cher Horza
L'adjectif équivalent fait malheureusement penser à classe d'équivalence ou classe de conjugaison et une symétrie centrale et une symétrie plane ne sont pas dans la même classe de conjugaison, (regarder leurs points fixes), même si toutes deux changent l'orientation dans ce cas de la dimension $3$.
L'orientation se définit via la théorie des déterminants. Autant donc les utiliser!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour pappus
Tu as tout à fait raison, même si je te trouve un peu sévère car j'ai écrit "équivalent" avec des guillemets !
La théorie des déterminants est en effet parfaitement adaptée à l'étude des isométries dans l'espace euclidien de dimension 3 : les deux méthodes pour réaliser une réflexion par un point conduisent à l'identité triviale
(-1)3 = (-1)(1) = -1
Dans l'espace-temps de Minkowski c'est différent, il y a des isométries de déterminant 1 qui ne sont pas des rotations. Dans ce cas, pour voir ce qui se passe, j'oublie complètement les déterminants et je procède par composition d'isométries simples. Mais cela n'engage que moi.
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Bonjour!
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