Apollonius
Bonjour,
Une relation de Ti Xu Mi:
Avec Morley inscrit, le centre du cercle d'Euler est $x_5=\dfrac{s_2^2}{s_1s_2-s_3}$ et son rayon est $R=\dfrac{1}{1-s_1\overline{s_1}}$..
Le centre du cercle d'Apollonius est $x_{970}=\dfrac{s_1^2\overline{s_2}-6s_1\overline{s_1}+8\overline{s_1}^2s_2+1}{(1-s_1\overline{s_1})^2}$ et son rayon est $R'=\dfrac{s_1^2\overline{s_2}-5s_1\overline{s_1}+\overline{s_1}^2s_2+7}{(1-s_1\overline{s_1})^2}$
La distance entre les deux centres est $X_5X_{970}=\dfrac{\sqrt{s_1\overline{s_1}} (s_1^2\overline{s_2} + \overline{s_1}^2s_2 - 6s_1\overline{s_1}+ 8)}{ (1 - s_1\overline{s_1})^2}$
Ce qui peut s'interpréter ($r$ étant le rayon du cercle inscrit) par:
$$X_5X_{970}^2=(R+R')^2\left(1-\dfrac{r}{R}\right)$$
Cordialement,
Rescassol
Une relation de Ti Xu Mi:
Avec Morley inscrit, le centre du cercle d'Euler est $x_5=\dfrac{s_2^2}{s_1s_2-s_3}$ et son rayon est $R=\dfrac{1}{1-s_1\overline{s_1}}$..
Le centre du cercle d'Apollonius est $x_{970}=\dfrac{s_1^2\overline{s_2}-6s_1\overline{s_1}+8\overline{s_1}^2s_2+1}{(1-s_1\overline{s_1})^2}$ et son rayon est $R'=\dfrac{s_1^2\overline{s_2}-5s_1\overline{s_1}+\overline{s_1}^2s_2+7}{(1-s_1\overline{s_1})^2}$
La distance entre les deux centres est $X_5X_{970}=\dfrac{\sqrt{s_1\overline{s_1}} (s_1^2\overline{s_2} + \overline{s_1}^2s_2 - 6s_1\overline{s_1}+ 8)}{ (1 - s_1\overline{s_1})^2}$
Ce qui peut s'interpréter ($r$ étant le rayon du cercle inscrit) par:
$$X_5X_{970}^2=(R+R')^2\left(1-\dfrac{r}{R}\right)$$
Cordialement,
Rescassol
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Réponses
En appelant $R$ le rayon du cercle circonscrit (plutôt que celui $\dfrac{R}{2}$ du cercle d'Euler), sachant que le complément $X_{10}$ de $I$ est le centre d'homothétie négative de tes $2$ cercles, on retrouve ta formule $X_{5}X_{970}=\left( \dfrac{R}{2}+R^{\prime }\right) \dfrac{OI}{R}$ (puisque $OI=2X_{5}X_{10}$).
A tout hasard, on a $R^{\prime }=\dfrac{r^{2}+s^{2}}{4r}$ où $s$ est le demi-périmètre de $ABC$.
Bien cordialement. Poulbot
J'aurais du préciser que l'inversion par rapport au cercle radical des $3$ cercles exinscrits conservant ces $3$ cercles échange le cercle d'Euler (qui leur est tangent) et le cercle d'Apollonius. Or, ce cercle radical est centré en $X_{10}$ qui est donc centre d'homothétie des $2$ cercles.
Accessoirement, ce cercle radical a pour rayon $\dfrac{1}{2}\sqrt{r^{2}+s^{2}}$.
Bien cordialement. Poulbot
Merci Poulbot. Tu utilises des propriétés que je ne connaissais pas. Il faut que je vois ça de plus près.
Cordialement,
Rescassol
Une petite question (très simple ???).
Hormis les cercles d'Euler et d'Apollonius, il existe $3$ autres cercles tangents aux $3$ cercles exinscrits. Ces $3$ autres cercles ont un point commun. Lequel et Pourquoi?
Bien cordialement. Poulbot
Le point de Nagel $X_8$ peut-être, mais ça reste à démontrer.
Cordialement,
Rescassol
Les cercles exinscrits sont tangents à $BC,CA,AB$ et invariants par l'inversion par rapport à leur cercle radical. Les cercles inverses de ces $3$ droites sont donc tangents aux $3$ exinscrits et ils passent tous les trois par le centre d'inversion $X_{10}$ (complément de $I$, appelé aussi "point de Spieker").
Bien cordialement. Poulbot
PS : J'ai ajouté le cercle d'inversion sur la figure.