Intemporalité
Bonsoir à tous
Les joyaux géométriques pour la plupart appartiennent à la géométrie euclidienne.
On pense à tort que la géométrie affine n'en possède pas mis à part la configuration des médianes.
Et pourtant j'ai retrouvé dans un de mes vieux cahiers une jolie configuration sur les coniques temporelles d'une $FLTI$ datant de plusieurs décennies à une époque où je les appelais encore coniques divisionnaires.
Vous avez sous les yeux une $FLTI$ de centre aréolaire $S$ et d'équicentre $E$.
J'ai tracé un triangle $abc$ de cette $FLTI$ et sa conique temporelle $\Gamma$ qui recoupe $BC$ en $a'$, $CA$ en $b'$, $AB$ en $c'$.
1° Montrer que les applications $a\mapsto a'$, $b\mapsto b'$, $c\mapsto c'$ sont des homothéties-translations qu'on identifiera en déterminant leurs centres et leurs rapports.
2° Les triangles $a'b'c'$ engendrent une $FLTI$ dont on déterminera le centre aréolaire et l'équicentre.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Si tu reviens jamais danser chez Temporel, un jour ou l'autre
Pense à ceux qui tous ont laissé leurs noms gravés auprès du nôtre
Les joyaux géométriques pour la plupart appartiennent à la géométrie euclidienne.
On pense à tort que la géométrie affine n'en possède pas mis à part la configuration des médianes.
Et pourtant j'ai retrouvé dans un de mes vieux cahiers une jolie configuration sur les coniques temporelles d'une $FLTI$ datant de plusieurs décennies à une époque où je les appelais encore coniques divisionnaires.
Vous avez sous les yeux une $FLTI$ de centre aréolaire $S$ et d'équicentre $E$.
J'ai tracé un triangle $abc$ de cette $FLTI$ et sa conique temporelle $\Gamma$ qui recoupe $BC$ en $a'$, $CA$ en $b'$, $AB$ en $c'$.
1° Montrer que les applications $a\mapsto a'$, $b\mapsto b'$, $c\mapsto c'$ sont des homothéties-translations qu'on identifiera en déterminant leurs centres et leurs rapports.
2° Les triangles $a'b'c'$ engendrent une $FLTI$ dont on déterminera le centre aréolaire et l'équicentre.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Si tu reviens jamais danser chez Temporel, un jour ou l'autre
Pense à ceux qui tous ont laissé leurs noms gravés auprès du nôtre
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Réponses
Si j'ai bien compris, tes $3$ centres d'homothétie, étant les points de contact avec les côtés de $ABC$ de la conique inscrite de centre le milieu $\omega $ de $\left[ ES\right] $ (conique d'incidence ou key conic),.sont les pieds $o_{a},o_{b},o_{c}$ des céviennes de l'isotomique de l'anticomplément de $\omega $.
Le rapport d'homothétie $\dfrac{\overline{o_{a}a^{\prime }}}{\overline{o_{a}a}}=-\dfrac{\Delta \left( SBC\right) }{\Delta \left( EBC\right) }$ ($\Delta $ est l'aire algébrique).
Quant aux triangles $a^{\prime }b^{\prime }c^{\prime }$, ils engendrent une $FLTI$ d'équicentre $S$ et centre aréolaire $E$.
Amicalement. Poulbot
Tu es tel qu'en toi même, un enseignant aux connaissances encyclopédiques et un géomètre à la virtuosité intemporelle!
Voici ma propre figure avec mes notations sur laquelle je vais greffer tes commentaires.
Je me suis donné le centre aréolaire $S$, l'équicentre $E$ et leur milieu $O$ (ton point $\omega$).
J'ai tracé en bleu la conique d'incidence ou conique clé $\Gamma$. C'est la conique inscrite de centre $O$.
Comme tu l'as dit son perspecteur $\Omega'$ est l'isotomique de l'anticomplément $\Omega$ du point $O$, ce qui fait que $\Omega$ est le point pilier de la $FLTI$, (point que j'appelais centre divisionnaire) et aussi le point de service de $\Gamma$ dans le jargon de Pierre.
Sur ma figure, on lit les égalités suivantes entre rapports segmentaires:
$\dfrac{\overline{\alpha a'}}{\overline{\alpha a}}=-\dfrac{\overline{uS}}{\overline{uE}}$, $\quad\dfrac{\overline{\beta b'}}{\overline{\beta b}}=-\dfrac{\overline{vS}}{\overline{vE}}$, $\quad\dfrac{\overline{\gamma c'}}{\overline{\gamma c}}=-\dfrac{\overline{wS}}{\overline{wE}}$
ce qui revient à tes égalités avec tes rapports d'aires algébriques.
Tu me croiras si tu veux mais j'ai d'abord trouvé cette configuration en tâtonnant avec mon logiciel de géométrie, les calculs ne sont venus qu'ensuite.
Toute la difficulté est de maîtriser la notion de conique temporelle ou divisionnaire sur laquelle on tombe assez naturellement quand on commence à réfléchir sur les $FLTI$.
Je compte ouvrir bientôt une discussion sur ces coniques.
Je suis un peu époustouflé par le glossaire de Pierre où il maîtrise les calculs sans les subir!
Ma démarche était toute différente. J'étais plutôt fasciné par les questions de construction des divers objets d'une $FLTI$ et je reviendrais aussi sur cet aspect de la théorie.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
La permutation entre $S$ et $E$ pour la $FLTI$ des $a'b'c'$ est assez fascinante!
Je ne résiste pas à vous montrer la figure ci-dessous dans laquelle les coniques temporelles sont des cercles et qui n'est qu'un cas particulier de la figure précédente.
C'est une configuration archiconnue de la géométrie du triangle dont la seule difficulté est d'identifier les illustres géomètres qui y ont laissé leurs noms.
On peut vraiment dire que la théorie des $FLTI$ structure cette configuration!
Amicalement
[small]p[/small]appus
"la seule difficulté est d'identifier les illustres géomètres qui y ont laissé leurs noms"
$Br_{1}$ et $Br_{2}$ sont les $2$ points de Brocard et la conique d'incidence est l'ellipse du même Brocard (ellipse inscrite de foyers les $2$ points de Brocard - et de "perspecteur" le point de Lemoine $K$).
$Br_{1}$ et $Br_{2}$ étant isogonaux, les coniques temporelles sont des cercles, en l'occurrence les cercles de Tücker. On trouve des tas de choses sur ces cercles dans la littérature et sur le net mais ta manière de les aborder est très originale et particulièrement séduisante.
Amicalement. Poulbot
Oui c'est assez surprenant de revisiter ces vieilles configurations avec les outils de la défunte géométrie moderne trop tôt disparue!
Les points $Br_1$ et $Br_2$ jouent le rôle des points $(E,S)$ (équicentre et centre aréolaire) pour les $FLTI$ des triangles $abc$ et $a'b'c'$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Un calcul immédiat montre l'équivalence entre
(1) le triangle inscrit est plat
(2) la conique temporelle dégénère en deux droites
(3) la conique temporelle passe par l'équicentre
(4) la conique temporelle passe par le Slowness center (le Sentre des aires).
Comme toute conique temporelle est bitangente à la conique pilier, alors
(1) les triangles plats sont les tangentes à la conique pilier issues de l'équicentre.
(2) l'autre droite de la conique temporelle passe par le Slowness center et est tangente à la conique pilier.
Considérons la seconde famille. Elle est visiblement linéaire. Les coniques temporelles sont les mêmes. La conique pilier, qui est leur enveloppe, est donc la même. On en cherche les triangles plats. Et le nouvel équicentre est à l'intersection des nouveaux triangles plats. On conclut en remarquant que $\frac 1 2 \mathcal {S}+ \frac 1 2 \mathcal {E}$ n'a pas changé.
Cordialement, Pierre.
Mais peux-tu lever mes doutes sur la construction d'une $FLTI$ dont l'équicentre $E(x':y':z')$ et le centre de lenteur $S(x:y:z)$ sont à l'infini,
i.e: $$x+y+z=x'+y'+z'=0$$
Je soutiens qu'il faut se donner les vecteurs $\bf V\ $$=x.A+y.B+z.C$ et $\bf V'$$=x'.A+y'.B+z'.C$ pour rester cohérent.
Par exemple les $FLTI$ associées aux couples $\bf (V,V')$ et $\bf (2V,V')$ sont différentes même si les vecteurs $\bf V$ et $2\bf V$ définissent le même point à l'infini.
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'ai repris ma première figure mais j'ai effacé les points $S$ et $E$.
Comment les retrouver?
Quel cauchemar!!
Autrement dit, il existe une unique $FLTI$ dont $abc$ est un triangle inscrit et $\Gamma$ la conique temporelle associée.
La construire!!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Les triangles plats qui font partie des deux LFIT du problème de Tucker --et qui permettent de les caractériser-- ne sont autres que les isotropes des points de Brocard. Autrement dit, on ferait mieux de parler des cercles de Plucker !!!
@pappus. L'objet projectif, ce sont les coordonnées $f:g:h:u:v:w$ des deux centres. C'est le prix à payer pour avoir des formules qui s'appliquent à tous les cas, que $S,E$ soient ou non à l'infini. Lorsqu'ils sont à l'infini, multiplier arbitrairement les coordonnées $u:v:w$ agit sur l'aire des triangles inscrits: on change de famille.
Cordialement, Pierre.
Je montrerai comment s'y prendre pour construire des $FLTI$ dont l'équicentre et le centre de lenteur sont à l'infini.
En ce qui concerne la question que je posais dans mon précédent message, voici une nouvelle figure qui suggère la démonstration mais il y a loin, très loin de la coupe aux lèvres!
Amicalement
[small]p[/small]appus
$ \def\linf{\mathcal{L}_{\infty}} \def\tmpom#1#2{\boxed{\mathcal{C}_{#1}^{#2}}} \def\tmpoc#1#2{\mathcal{C}_{#1}^{#2}} \def\slov{\mathcal{S}} \def\equi{\mathcal{E}} \def\pilpt{\Omega} \def\isot{\operatorname{isotom}} \def\ptv{~;~} $
On a une conique $\tmpoc{}{}$. On la considère comme étant l'une des coniques temporelles d'une LFIT contenant le triangle $abc$. On relève par la collineation $\linf\mapsto\linf$, $a\mapsto A$, $b\mapsto B$, $c\mapsto C$ et l'on obtient la conique $\tmpoc{}H$ qui est une conique circonscrite fixe.
On reprend la conique $\tmpoc{}{}$. On la considère comme étant l'une des coniques temporelles de la LFIT Tucker-conjuguée de la précédente famille. On en connait le triangle $a'b'c'$. On relève par la collineation $\linf\mapsto\linf$, $a'\mapsto A$, $b'\mapsto B$, $c'\mapsto C$ et l'on obtient la conique $\tmpoc{}T$ qui est une conique circonscrite fixe.
On considère la conique pillier, dont les points de contact sont les céviens de $\isot\pilpt$. On relève adéquatement. Et on obtient la conique $\tmpoc{}P$. Cela donne: \[ \left[\begin{array}{ccc} 0 & h\tau & g\sigma\\ h\tau & 0 & f\rho\\ g\sigma & f\rho & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 0 & w\tau & v\sigma\\ w\tau & 0 & u\rho\\ v\sigma & u\rho & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 0 & \tau\,\left(\rho+\sigma\right) & \sigma\,\left(\tau+\rho\right)\\ \tau\,\left(\rho+\sigma\right) & 0 & \rho\,\left(\sigma+\tau\right)\\ \sigma\,\left(\tau+\rho\right) & \rho\,\left(\sigma+\tau\right) & 0 \end{array}\right] \]
Et on constate les symptômes usuels: alignement des perspecteurs, et réintersection sur le tripôle de la ligne des perspecteurs.
Cordialement, Pierre.
-Dans quoi vit $f:g:h:u:v:w$, cet étrange animal projectif ?
-Dans le monde réel: cet animal intervient dès que l'on tente un calcul.
-Je montrerai comment s'y prendre pour construire des $FLTI$ dont l'équicentre et le centre de lenteur sont à l'infini.
-Cela nécessitera de connaître l'aire d'au moins un triangle non plat de la famille.
La propriété auto-graphe. $ \def\ptv{~;~} \def\tri#1{\mathcal{T}_{#1}} \def\trim#1{\boxed{\mathcal{T}_{#1}}}$ On écrit le triangle et son conjugué de Tucker sous la forme: \[ \trim t=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -\dfrac{t}{g}+1+\dfrac{f-w}{g} & \dfrac{t}{h}+1-\dfrac{v}{h}\\ \dfrac{t}{f} & 0 & -\dfrac{t}{h}+\dfrac{v}{h}\\ 1-\dfrac{t}{f} & \dfrac{t}{g}+\dfrac{w-f}{g} & 0 \end{array}\right]\ptv\widehat{\trim t}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & \dfrac{t}{v} & -\dfrac{t}{w}+\dfrac{f}{w}\\ -\dfrac{t}{u}+1-\dfrac{h-v}{u} & 0 & \dfrac{t}{w}+1-\dfrac{f}{w}\\ \dfrac{t}{u}+\dfrac{h-v}{u} & 1-\dfrac{t}{v} & 0 \end{array}\right] \] Et on calcule les directions de $a_{t}\widehat{b_{t}}$ et $a_{t}\widehat{c_{t}}$. On trouve \[ \left(\begin{array}{c} f\\ -v\\ -f+v \end{array}\right)\ptv\left(\begin{array}{c} f\\ -f+w\\ -w \end{array}\right) \] Ces directions sont fixes. On peut donc les utiliser pour tracer le graphe de la correspondance $BC\hookrightarrow CA\;:\;a_{t}\mapsto b_{t}$. Le graphe en question n'est autre que la droite $AB$. Cela donne la construction hexagonale de Pappus. Au passage, le point fixe de $a_{t}\mapsto\widehat{a_{t}}$ n'est rien d'autre que le contact avec la conique pilier.
Cordialement, Pierre.