Merci Soland pour ce beau problème mais pourquoi n'avoir pas proposé l'énoncé suivant:
chercher toutes les coniques ayant un contact d'ordre 4 avec le premier cercle (qui sera surosculateur) et un contact d'ordre 3 avec le second (qui sera seulement osculateur).
Je n'ai aucune idée du résultat et d'ailleurs je suis en voyage loin de mes bases.
Comme ce problème n'est qu'une question d'intersection qui relève de la géométrie projective, je propose la méthode suivante.
Les cercles sont donnés par leurs équations cartésiennes rendues homogènes.
La conique cherchée est donnée par des équations paramétriques:
$$(x:y:z)= (at^2+bt+c:a't^2+b't+c':a''t^2+b''t+c'')$$
et on applique la défunte théorie du contact.
On devrait tomber sur un système linéaire homogène en $(a:b:c:a':b':c':a'':b'':c'')$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Etude "in brute force". On choisit le cercle unité, ainsi que le cercle centré en $a\in\R$ et de rayon $b$. On procède à un développement limité autour de $\alpha$, et de $a+b\beta$. Cela donne $A=\alpha+ik\alpha-1/2\,{k}^{2}\alpha-i/8{k}^{3}\alpha$ et $B=a+b\beta+ib\beta\,K-1/2\,b\beta\,{K}^{2}$.
On écrit la conique $\mathcal C$ passant par 3 points en $A$ et deux points en $B$. Son déterminant vaut:\[2\, \left( a\alpha\,{\beta}^{2}+2\,\alpha\,b\beta+a\alpha-{\alpha}^{
2}-{\beta}^{2} \right) ^{3} \left( a{\alpha}^{2}\beta+{\alpha}^{2}b+
b{\beta}^{2}+a\beta-2\,\alpha\,\beta \right) ^{6}
\]
Puis on écrit que cette conique passe par le quatrième point en $A$ et le troisième en $B$. Cela fournit deux équations qui permettent de specifier $\alpha$ et $\beta$. On trouve $\left\{ \left( a{\alpha}^{2}\beta+{\alpha}^{2}b+
b{\beta}^{2}+a\beta-2\,\alpha\,\beta \right)\times eq1, eq2 \right\}$.
La paire $\left\{ \left( a{\alpha}^{2}\beta+{\alpha}^{2}b+ b{\beta}^{2}+a\beta-2\,\alpha\,\beta \right), eq2 \right\}$ conduit aux quatre tangentes communes (et alors $\boxed {\mathcal C}$ est la matrice nulle), ainsi qu'à des solutions invisibles (avec $\alpha,\beta$ réels, au lieu d'être des turns).
J'ai pris le faisceau des coniques surosculatrices à $x^2+y^2=1$ en $(-1,0)$
et je cherche (pas trouvé) le centre de courbure avec la bonne courbure
à la bonne distance de l'origine.
Je termine avec une rotation de centre (0, 0).
Pour la configuration $a=4, b=2$, on obtient essentiellement deux solutions (à symétrie près par rapport à la droite des centres). Il y a une ellipse et une hyperbole. On sait qu'un cercle ne suroscule une conique qu'en l'un des sommets de cette conique. On vérifie que (1) les foyers, le contact et le centre sont alignés (2) le cercle ne traverse pas la conique (3) le centre de courbure de la grande conique est au bon endroit.
Réponses
chercher toutes les coniques ayant un contact d'ordre 4 avec le premier cercle (qui sera surosculateur) et un contact d'ordre 3 avec le second (qui sera seulement osculateur).
Je n'ai aucune idée du résultat et d'ailleurs je suis en voyage loin de mes bases.
Comme ce problème n'est qu'une question d'intersection qui relève de la géométrie projective, je propose la méthode suivante.
Les cercles sont donnés par leurs équations cartésiennes rendues homogènes.
La conique cherchée est donnée par des équations paramétriques:
$$(x:y:z)= (at^2+bt+c:a't^2+b't+c':a''t^2+b''t+c'')$$
et on applique la défunte théorie du contact.
On devrait tomber sur un système linéaire homogène en $(a:b:c:a':b':c':a'':b'':c'')$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Etude "in brute force". On choisit le cercle unité, ainsi que le cercle centré en $a\in\R$ et de rayon $b$. On procède à un développement limité autour de $\alpha$, et de $a+b\beta$. Cela donne $A=\alpha+ik\alpha-1/2\,{k}^{2}\alpha-i/8{k}^{3}\alpha$ et $B=a+b\beta+ib\beta\,K-1/2\,b\beta\,{K}^{2}$.
On écrit la conique $\mathcal C$ passant par 3 points en $A$ et deux points en $B$. Son déterminant vaut:\[2\, \left( a\alpha\,{\beta}^{2}+2\,\alpha\,b\beta+a\alpha-{\alpha}^{
2}-{\beta}^{2} \right) ^{3} \left( a{\alpha}^{2}\beta+{\alpha}^{2}b+
b{\beta}^{2}+a\beta-2\,\alpha\,\beta \right) ^{6}
\]
Puis on écrit que cette conique passe par le quatrième point en $A$ et le troisième en $B$. Cela fournit deux équations qui permettent de specifier $\alpha$ et $\beta$. On trouve $\left\{ \left( a{\alpha}^{2}\beta+{\alpha}^{2}b+
b{\beta}^{2}+a\beta-2\,\alpha\,\beta \right)\times eq1, eq2 \right\}$.
La paire $\left\{ \left( a{\alpha}^{2}\beta+{\alpha}^{2}b+ b{\beta}^{2}+a\beta-2\,\alpha\,\beta \right), eq2 \right\}$ conduit aux quatre tangentes communes (et alors $\boxed {\mathcal C}$ est la matrice nulle), ainsi qu'à des solutions invisibles (avec $\alpha,\beta$ réels, au lieu d'être des turns).
Cordialement, Pierre
Edit: bien entendu, $k,K$ sont indépendants.
J'ai pris le faisceau des coniques surosculatrices à $x^2+y^2=1$ en $(-1,0)$
et je cherche (pas trouvé) le centre de courbure avec la bonne courbure
à la bonne distance de l'origine.
Je termine avec une rotation de centre (0, 0).
Pour la configuration $a=4, b=2$, on obtient essentiellement deux solutions (à symétrie près par rapport à la droite des centres). Il y a une ellipse et une hyperbole. On sait qu'un cercle ne suroscule une conique qu'en l'un des sommets de cette conique. On vérifie que (1) les foyers, le contact et le centre sont alignés (2) le cercle ne traverse pas la conique (3) le centre de courbure de la grande conique est au bon endroit.
Cordialement, Pierre