Parallélogramme et relativité.

Merci @P. et @nicolas.

Mais ne peut-t-on pas utiliser simplement le bagage théorique enseigné en $ 1 $ er et $ 2 $ - ème année du collège. C'est à dire sans faire référence au calcul cartésien, mais simplement à l'aide de droites et leurs intersections, ou par exemple utiliser la notion de triangles en similitudes, et leurs lien avec la notion d'angles. Ou bien le théorème de Thalès, le rapport des distances ... ? Mais pas de recours au calcul cartésien.

Merci d'avance.

Voici la démonstration :

- Soit $ ABCD $ un parallélogramme.
Montrons que : $ AC $ et $ BD $ se coupent en leur milieu qui sera noté $ E $ ( Alors, faites votre dessin pour voir plus clairement ).
Par définition d'un parallélogramme, on a : $ \begin{cases} (AB) // ( DC) \\ (BC) // (AD) \end{cases} $.
On a $ (BD) $ une droite qui coupe les deux parallèles $ (AB) $ et $ (DC) $ en $ B $ et $ D $.
Par conséquent, $ \widehat{BAC} = \widehat{ACD} $ ( Angles alternes internes ).
On a $ (AC) $ une droite qui coupe les deux parallèles $ (AB) $ et $ (DC) $ en $ A $ et $ C $.
Par conséquent, $ \widehat{ABC} = \widehat{BDC} $ ( Angles alternes internes ).
D'où : $ ABE $ et $ DEC $ sont isométriques.
D'où : $ [AE] = [EC] $ et $ [BE] = [ED] $.
Par conséquent, $ AC $ et $ BD $ se coupent en leur milieu $ E $.

- Inversement,
Soit $ ABCD $ un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.
Montrons que $ ABCD $ est un parallélogramme.
Pour montrer que $ ABCD $ est un parallélogramme, il suffit de montrer que : $ \begin{cases} (AB) // ( DC) \\ (BC) // (AD) \end{cases} $.
Puisque : $ (AC) $ et $ (BD) $ se coupent en $ E $, alors, $ \widehat{AEB} = \widehat{DEC} $ ( Deux angles opposés ).
Et puisque, par hypothèses, $ [AE] = [EC] $ et $ [BE] = [ED] $, alors, les deux triangles $ AEB $ et $ DEC $ sont isométriques.
Puisque, $ \widehat{ABE} = \widehat{EDC} $, ( parce que ce sont des angles alternes internes ), alors, $ (AB) // ( DC) $.
De meme, en suivant le meme raisonnement, on a : $ (BC) // (AD) $.

Non ?