Égalité des bissectrices d'un angle

Piteux_gore · October 2019

Bonjour

Un angle d'un triangle dont les bissectrices intérieure et extérieure sont égales peut-il être obtus ?

Je me pose la question, car je n'arrive pas à construire un tel cas de figure.
A+

poulbot · October 2019

Bonjour Piteux_gore
Je te suggère de prouver que les deux bissectrices de $\left( AB,AC\right) $ ont la même longueur ssi $\cos \widehat{A}=\dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}}$, ce qui devrait donner la réponse à ta question.
Cordialement. Poulbot

Piteux_gore · October 2019

Merci,

Partant des relations
$d^2 = 4bc(p - a)p/(b+c)^2$ et $d'^2 = 4bc(p - b)(p - c)/(b - c)^2$,
on montre effectivement que $cos(A) = 2bc/(b^2+c^2)$ .

A+

poulbot · October 2019

Re-bonjour
Par contre $\widehat{B}$ ou $\widehat{C}$ est obtus. Tout cela se visualise très bien si on réalise que $A$ est sur l'hyperbole équilatère de sommets $B$ et $C$. On peut aussi réaliser que $OA$ et $BC$ sont parallèles.
Cordialement. Poulbot 91522

AD · October 2019

Pardon
C'est quoi la longueur d'une bissectrice ? Intérieure, je devine, mais extérieure ?
Alain

marsup · October 2019

Moi c'est tout l'inverse :
extérieure, je devine, puisque les bissectrices extérieures délimitent un triangle.
intérieure, je vois trois interprétations :
* jusqu'à rencontrer la prochaine bissectrice intérieure (et donc aussi la troisième ! centre du cercle inscrit)
* jusqu'à rencontrer le côté opposé
* jusqu'à rencontrer la prochaine bissectrice extérieure (et donc aussi la troisième ! centre d'un cercle exinscrit.)

soland · October 2019

Un bon exemple de ce qui arrive en l'absence de définition.

Piteux_gore · October 2019

RE

Dans les constructions de triangle, bissectrice signifie longueur du segment de la bissectrice (intérieure ou extérieure) compris entre le sommet de l'angle, par exemple $A$, et la droite opposée $(B,C)$.

A+

soland · October 2019

Aussi si la bissectrice et le côté opposé sont parallèles.

"bissectrice signifie longueur" ?

Piteux_gore · October 2019

RE

Quand je lis Construire un triangle, connaissant la bissectrice…, je comprends que bissectrice signifie ici (par abus de langage) longueur de…

Si l'on est puriste, on doit dire
Le carré de la longueur de l'hypoténuse égale la somme des carrés des longueurs des cathètes.

A+

Égalité des bissectrices d'un angle

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