Orientation du plan

Autre question : un élève te dit « je trace une droite horizontale ». Mais c’est quoi « horizontale? » , on fait des maths ou pas?

Bonjour Jrbrazza.

Il y a deux parties du plan "entre deux demi-droites" de même origine. Un angle droit, c'est 90° ou 270° ?

Cordialement.

Soient (Ox) et (Oy) deux demi-droites, et P un point. Comment savoir si P est en dehors de l'angle ?

Attention, il ne s'agit pas de dessin, mais de géométrie.

Cordialement.

NB : Dans le cas de l'angle plat, même en dessin géométrique, il y a problème.

Allons-y pour un round supplémentaire.

Un angle $\angle (bac)$ est un triple ordonné de trois points distincts. (Angle sans adjectif, merci.) Son sommet est $a$.
Sa mesure est donnée par
$$
\mu(abc) := \arccos\left( \frac{|ab|^2+|ac|^2 - |bc|^2}{2|ab||ac|} \right)
$$
($\arccos$ est définie via une série, passons.) L'image de la fonction $\mu$ est $[0,\pi]$.
On montre via la relation de Stewart que si $p$ appartient à la demi-droite ouverte $]ab\infty[$ alors $\angle (bac) = \angle (pac)$.
On peut alors définir l'angle de deux segments ou de deux demi-droites.
Les angles ne s'additionnent pas, leurs mesures oui, ce sont des réels.

La mesure orientée de $\angle (bac)$, notée (peut-être) $\mu_o(bac)$ est celle de l'angle de la rotation de centre $a$
qui envoie $b$ sur la demi-droite $]ac\infty[$.
Pour pouvoir définir $\mu_o$, un cousin lointain de $\mu$, il faut disposer d'un repère affine $uov$ du plan
bombardé repère direct. La rotation est alors décrite par une matrice, etc.

L'image de la fonction $\mu_o$ est le groupe quotient $\mathbb{R}/(2\pi\mathbb{R})$
(une conséquence de la périodicité des fonctions trigonométriques) qui a la propriété néfaste
d'admettre comme automorphisme l'application $\alpha\mapsto -\alpha$ .

Une variante du déterminant de Cayley-Menger permet de savoir si deux repères affines $(uov)$ et $(u'o'v')$
ont la même orientation ou pas. N'y interviennent que les distances $|uu'|,|uo'|,|uv'|,|ou'|...|vv'|.$

Ensuite il y a la dimension 3 ...

Je prétends que le mathématicien qui ignore la moindre virgule de ce qui précède (que je n'ai pas inventé)
périra dans un état de confusion extrême.

Bonjour,

Méfiez vous, les foudres de Pappus guettent :-D

Cordialement,

Rescassol

Bonjour.

Pour décoincer un écrou, on utilise une clef à tube et un marteau. En fait il y a une façon de faire qui conduit à dévisser l'écrou, et une autre qui conduit à cisailler le boulon. Que peut-on faire pour convaincre quelqu'un que ce n'est pas la même chose... lorsqu'il n'en est pas persuadé de lui-même ?

Cordialement, Pierre.

Soland, je ne parle même pas des mesures !
On a un plat (un seul élément d'ordre 2) et deux angles droits distincts (deux éléments d'ordre 4).

D'ailleurs on n'a pas besoin d'orienter le plan si l'on se passe des mesures.
Si AOB est un triangle isocèle en O, qu'on se trouve d'un côté ou de l'autre de la vitre : on considère la rotation de centre O qui transforme A en B.
L'un tourne dans un sens (le même que sa montre), l'autre dans l'autre sens (inverse de sa montre) mais le point A est envoyé sur le point B.