Une partition en 5 dans un hexagone
dans Géométrie
Bonjour à tous,
Il est très facile de vérifier, par exemple par un calcul en coordonnées cartésiennes dans le repère (AC, AF), la partition en 5 représentée sur la figure ci-dessous, mais en connaissez-vous une preuve synthétique ?
À partir de cette figure, on peut construire les segments de longueurs $\sqrt7$ et $\sqrt{13}$ ...
Bien cordialement.
JLB
Il est très facile de vérifier, par exemple par un calcul en coordonnées cartésiennes dans le repère (AC, AF), la partition en 5 représentée sur la figure ci-dessous, mais en connaissez-vous une preuve synthétique ?
À partir de cette figure, on peut construire les segments de longueurs $\sqrt7$ et $\sqrt{13}$ ...
Bien cordialement.
JLB
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Réponses
bien qu'apparemment cela n'intéresse pas grand monde, je vous soumets, avec la même question, cette autre partition, en 7 parts cette fois-ci, de la même diagonale d'un hexagone régulier, tout aussi facile à vérifier ...
Bien cordialement.
JLB
Mais j'ai un truc sur le gaz
et je ne fais plus rien d'autre
sauf lire les contributions des
autres.
D'où sortent ces subdivisions étonnantes ?
Amicalement, Ch.
Dans la partition en 7, je trouve les longueurs suivantes, toujours avec AB = 1 : FI = 2(sqrt13)/7, FG = (sqrt61)/7 et FK = 2(sqrt19)/7.
La suite de mes petits jeux, dans la figure suivante ... qui vous captivera autant, j'espère !
Bien cordialement
JLB
L'explication, c'est encore et toujours Thalès ! pour la subdivision de cette diagonale en 5 segments égaux, je viens tout juste de la trouver ...
Bien entendu, sur la figure ci-dessous, il faut faire intervenir la symétrie par rapport à la diagonale perpendiculaire à celle considérée ... cela va sans dire, mais encore mieux en le disant !
Bien cordialement
JLB
Quant à $FI$ et $FK$, autre résultat très connu et très ancien donne immédiatement le résultat.
Bien cordialement. Poulbot
Pour l'explication de la partition en 7 segments égaux, en fait, c'est aussi peu compliqué !
Bien cordialement
M milieu de [AB], [AC] coupe [MD] en N, (FN) coupe (BD) en O.
Bien cordialement
JLB
Mais tout cela est suprêmement intéressant, pour moi en tout cas ... Décidément, quoi de plus riche qu'un simple hexagone bêtement régulier ?
Je sens que je ne vais pas trop voir le temps passer, ces prochains jours ...
Merci encore !
JLB
Voici une figure du partage de la petite diagonale d'un hexagone régulier en 11 parties égales :
Hexagone ABCDEF, G, H, I et J milieux de EF, FA, ED et AB respectivement, K, L, M et N intersections, respectivement, de FD et AI, FD et EJ, FB et AI, FB et EJ. Alors
- la demi-droite CK, respectivement CN, coupe EA en O, respectivement T, tel que EO, respectivement AT, vaut EA/11,
- les segments LG et MH coupent respectivement EA en P et S, tels que EP = AS = 3EA/11
- les segments LH et MG coupent respectivement EA en Q et R, tels que EQ = AR = 5EA/11,
et les milieux respectifs U, V, W et Z des segments OP, PQ, RS et ST complètent cette partition.
Il faudrait maintenant justifier tout ça ... on verra demain !
Bonne nuit à tous, bien cordialement
JLB
Oui c'est amusant de chercher, et les figures sont plutôt jolies.
Dans ton partage en 11 segments égaux on peut construire les milieux U, V, W et Z avec la règle seule (tracés en orange ci-dessous) :
Bien amicalement
JLB
Vous ouvrez de nombreuses pistes de réflexion !
Je suppose que ces partitions d'un segment particulier ont été déjà maintes fois étudiées. Quelqu'un des savants géo-maîtres de ce forum pourrait-il indiquer des références à ce sujet ? Merci d'avance !
Bien cordialement
JLB
En attendant j'ai réussi le partage en 2019 segments égaux.
Ci-dessous la construction pour 673 segments.
Reste plus qu'à partager chacun d'eux en 3 parts égales.
Mais j'imagine que la vraie figure, avec les 672 segments coupant la diagonale horizontale, doit être autrement plus difficile à lire que celle que tu présentes ...
N'empêche, comme tu disais, cela permet de faire de jolies figures, avec des points artistiquement répartis dans l'hexagone, qui forment de beaux dessins !
Bien cordialement
JLB
Voici la figure complète pour la partition en 5 segments égaux de deux petites diagonales d'un hexagone régulier.
On peut remarquer que les quadrilatères bleus ne sont pas exactement des carrés, contrairement à ce que m'avait fait penser, je l'avoue, la première figure de fm_31 ...
A première vue, je ne détecte pas d'autres particularités que celles déjà signalées au début de ce fil. Si vous en voyez ou en connaissez ...
Soland, ça ne te donne pas des idées pour un de ces superbes dessins en 3D dont tu as l'habitude de régaler nos yeux ?
Bien cordialement
JLB
C'est étonnant à quel point c'est facile de les trouver,
chaque nouvelle intersection étant comme prédisposée à donner un nouveau point.
Merci Ludwig !
J'ai trouvé hier soir tard le partage en 9 segments, toujours de la même diagonale d'un hexagone : il fait intervenir, outre les milieux de quatre côtés, deux points "quart de côté".
J'ajoute une autre figure sur le même sujet, plus complète, avec de nombreux alignements de points d'intersection, ce que je trouve assez fascinant !
Maintenant, il reste à justifier par le calcul toutes ces jolies choses un peu surprenantes ...
Bien cordialement
JLB
Il suffit d'utiliser certains points d'intersection de segments déjà construits.
Je trouve aussi que les points d'intersection obtenus sont bien trop alignés pour que ce soit le fruit du hasard,
cela doit s'expliquer d'une manière ou d'une autre.
Une bonne journée
Les milieux des côtés de l'hexagone sont facilement constructibles avec la règle seule, mais les quarts c'est moins évidents.
Ci-dessous la construction de fm_31 modifiée :
Bravo et merci, Ludwig et Fm_31 ! Chapeau bas, pour vous deux !(tu)(tu)(tu)
Ludwig, selon ta première figure de partition en 9, il semble bien qu'il existe, en bas à droite et à gauche, deux points de concours de cinq alignements chacun, et que les cinq droites correspondantes découpent en quatre segments égaux une moitié d'un côté de l'hexagone ...
Bonne journée, bien cordialement
JLB
Partage en 29.
En se plaçant dans le repère formé par les sommets du petit triangle équilatéral en bas à gauche, les calculs de coordonnées sont assez faciles. Cela peut donner des petits exercices intéressants à faire en classe de seconde.