Une partition en 5 dans un hexagone

Bonjour à tous,
bien qu'apparemment cela n'intéresse pas grand monde, je vous soumets, avec la même question, cette autre partition, en 7 parts cette fois-ci, de la même diagonale d'un hexagone régulier, tout aussi facile à vérifier ...
Bien cordialement.
JLB

Bonsoir à tous,
L'explication, c'est encore et toujours Thalès ! pour la subdivision de cette diagonale en 5 segments égaux, je viens tout juste de la trouver ...
Bien entendu, sur la figure ci-dessous, il faut faire intervenir la symétrie par rapport à la diagonale perpendiculaire à celle considérée ... cela va sans dire, mais encore mieux en le disant !
Bien cordialement
JLB

Merci Poulbot, de cette confirmation !
Pour l'explication de la partition en 7 segments égaux, en fait, c'est aussi peu compliqué !
Bien cordialement

De mieux en mieux ! Merci beaucoup Ludwig !
Bien cordialement
JLB

On se pique au jeu, hein, Ludwig ?
Mais tout cela est suprêmement intéressant, pour moi en tout cas ... Décidément, quoi de plus riche qu'un simple hexagone bêtement régulier ?
Je sens que je ne vais pas trop voir le temps passer, ces prochains jours ...
Merci encore !
JLB

Voici une figure du partage de la petite diagonale d'un hexagone régulier en 11 parties égales :
Hexagone ABCDEF, G, H, I et J milieux de EF, FA, ED et AB respectivement, K, L, M et N intersections, respectivement, de FD et AI, FD et EJ, FB et AI, FB et EJ. Alors
- la demi-droite CK, respectivement CN, coupe EA en O, respectivement T, tel que EO, respectivement AT, vaut EA/11,
- les segments LG et MH coupent respectivement EA en P et S, tels que EP = AS = 3EA/11
- les segments LH et MG coupent respectivement EA en Q et R, tels que EQ = AR = 5EA/11,
et les milieux respectifs U, V, W et Z des segments OP, PQ, RS et ST complètent cette partition.
Il faudrait maintenant justifier tout ça ... on verra demain !
Bonne nuit à tous, bien cordialement
JLB

Merci Ludwig, c'est très intéressant, d'autant que cela met en valeur les points d'intersection des segments FI et FJ avec LG et MH. Or, le point d'intersection des droites GL et HM, je l'ai constaté hier soir, n'est autre que le symétrique du centre de l'hexagone par rapport au sommet C de ma figure, soit, dans un repère d'origine F et d'axes la diagonale FC pour les ordonnées et la perpendiculaire en F à cette diagonale pour les abscisses, le point de coordonnées (0, 3c) où c représente la longueur d'un côté de l'hexagone ...
Bien amicalement
JLB

Bonsoir à tous,
Voici la figure complète pour la partition en 5 segments égaux de deux petites diagonales d'un hexagone régulier.
On peut remarquer que les quadrilatères bleus ne sont pas exactement des carrés, contrairement à ce que m'avait fait penser, je l'avoue, la première figure de fm_31 ...
A première vue, je ne détecte pas d'autres particularités que celles déjà signalées au début de ce fil. Si vous en voyez ou en connaissez ...
Soland, ça ne te donne pas des idées pour un de ces superbes dessins en 3D dont tu as l'habitude de régaler nos yeux ?
Bien cordialement
JLB

Bonsoir à tous,
Merci Ludwig !
J'ai trouvé hier soir tard le partage en 9 segments, toujours de la même diagonale d'un hexagone : il fait intervenir, outre les milieux de quatre côtés, deux points "quart de côté".
J'ajoute une autre figure sur le même sujet, plus complète, avec de nombreux alignements de points d'intersection, ce que je trouve assez fascinant !
Maintenant, il reste à justifier par le calcul toutes ces jolies choses un peu surprenantes ...
Bien cordialement
JLB