Distances des sommets aux points remarquables

Hélas :
https://www.amazon.in/Relations-Entre-�l�ments-Triangle-D�monstrations/dp/0364655267
Et ce n'est pas la faute de De Tarragon !

Et encore ça, raisonnable : https://www.chapters.indigo.ca/en-ca/books/relations-entre-les-éléments-dun/9780274252824-item.html

$~~~~$ Blague à part c'est un petit livre que j'ai trouvé je ne sais plus où, il y a des années, à une époque où nous étions sous l'influence du cri de guerre : « À bas le triangle ! », mais que j'ai tout de même conservé, et même fait relier. Sa première édition est de 1893, sa cinquième de 1933. Il n'a pas de nom d'auteur, mais je conjecture que l'auteur est Henry Vuibert soi-même.

Ceci dit, les « points remarquables » que tu évoques sont je présume : le centre de gravité, le centre du cercle inscrit (et des cercles exinscrits), le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre, peut-être le point de Lemoine, et quoi d'autre ? Tu peux toi-même trouver ces distances à partir des coordonnées barycentriques de ces points, qui sont fort connues.

Bonne journée.
Fr. Ch.

Précisons. Si $\alpha ,\beta ,\gamma $ sont les coordonnées barycentriques d'un point $\Omega $ du plan relativement à $A,B,C$, alors pour tout point $M $ du plan on a :
$ \overrightarrow{\Omega M} =\frac{\alpha \overrightarrow{AM}+\beta \overrightarrow{BM}+\gamma \overrightarrow{CM}}{\alpha +\beta +\gamma }$.
En faisant $M:=A$ il vient : $ \overrightarrow{\Omega A}=\frac{\beta \overrightarrow{BA}+\gamma
\overrightarrow{CA}}{\alpha +\beta +\gamma }$, soit :
$\left\Vert \overrightarrow{\Omega A}\right\Vert ^{2}=\frac{1}{(\alpha+\beta +\gamma )^{2}}(\beta ^{2}\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert ^{2}+\gamma ^{2}\left\Vert \overrightarrow{CA}\right\Vert ^{2}+2\beta \gamma
\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA})=\frac{1}{(\alpha +\beta +\gamma )^{2}}(\beta ^{2}c^{2}+\gamma
^{2}b^{2}+2\beta \gamma \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC})$.
Or il est clair que : $\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \overrightarrow{AB}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \overrightarrow{AC}\right\Vert ^{2}-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$, d'où il suit : $2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=b^{2}+c^{2}-a^{2}$.
En reportant ceci dans l'égalité précédente, on a $\Omega A^2$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Bonsoir Piteux_gore,
Je me permets de confirmer tout le bien qu'il faut penser de ce petit répertoire qu'indique Chaurien et dont j'ai eu la chance de faire l'acquisition par Internet il y a déjà quelque temps : c'est une véritable mine d'or géométrique !
Ce livre est aussi référencé sur abebooks

Bien cordialement
JLB

https://ia800900.us.archive.org/33/items/relationsentrel00unkngoog/relationsentrel00unkngoog.pdf

sans oublier la page manquante ...

Cordialement, Pierre.

Pour les anglophones, quelques points de plus : encyclopedia of triangle centers