Droites de Pappus

Bonjour amateur
Si j'ai bien compris, il s'agit de montrer
qu'on peut partitionner l'ensemble des $6$ droites de Pappus en $2$ sous-ensembles de $3$ droites concourantes (tu as conjecturé que $3$ de ces droites étaient concourantes; c'est exact mais les $3$ autres le sont aussi)..
En prenant tes notations (bien qu'elles ne soient pas très heureuses), pour $1\leq i\leq 3,4\leq j\leq 6$ soit $ij$ la droite joignant les points $i$ et $j$.
Considérons les triangles de côtés $36,15,24$ et $25,34,16$
et leurs sommets $U=15\cap 24,V=24\cap 36,W=36\cap 15,U^{\prime }=34\cap 16,V^{\prime }=16\cap 25,W^{\prime }=25\cap 34$.
Les points $VW\cap V^{\prime }W^{\prime }=25\cap 36,WU\cap W^{\prime }U^{\prime }=34\cap 15,UV\cap U^{\prime }V^{\prime }=16\cap 24$ sont alignés (sur une des droites de Pappus). Il en résulte que les droites $UU^{\prime },VV^{\prime },WW^{\prime }$ sont concourantes (Desargues); or ce sont $3$ des $6$ droites de Pappus (tes droites rouges).
En inversant $2$ et $3$ dans ce qui précède, il vient que les $3$ autres droites de Pappus sont également concourantes.
Un petit exo : $D$ et $D^{\prime }$ sont les droites $1,2,3$ et $4,5,6$; $O=D\cap D^{\prime }$; $M$ et $M^{\prime }$ les points de concours des $2$ triplets de droites de Pappus. Montrer que le faisceau $\left( D,D^{\prime },OM,OM^{\prime }\right) $ est harmonique.
Bien cordialement. Poulbot

Bonjour.

Allons-y gaiement. on appelle $z_j$ les points. On écrit $z_3=x\,z_1+(1-x)\,z_2$ et $z_6=y\,z_4+(1-y)\,z_5$. Les 9 droites sont $l_{jk}= (z_j z_k)$. On écrit les intersections $c_{ijkm}= l_{ij}\cap l_{km}$ avec $i<k\leq 3$ et $4\leq j,m$. Il y en a 18. On les groupe:
c1534 c1524
c1624 c1634
c2536 c2635

c1425 c1435
c2634 c1625
c1635 c2436

c1436 c1426
c1526 c1536
c2435 c2534

Trois points dans un groupe vertical sont alignés. Les équations de ces 6 droites sont raisonnablement simples. Les trois droites d'une même colonne sont concourantes, donnant $P,Q$. Les coordonnées des points de concours enflent. Les coordonnées des droites $OP,OQ$ super-enflent. Au point que la procédure "birapport générique" rame au delà de la complexité n°2 (le temps d'un café). On se ramène à calculer le birapport des intersections avec $z_1z_4$. Et alors la complexité redescend au n°1 (le temps d'un clic). Et ce birapport vaut $-1$. Qu'eût-il pu valoir d'autre ?

Cordialement, Pierre.