Centre du cercle inscrit

Piteux_gore · November 2019

Bonjour,

Le résultat suivant fait-il partie des classiques ?

Soient $ABC$ un triangle et $I$ le centre du cercle inscrit, et soit $J$ l'intersection du cercle $(IBC)$ et de la droite $(AI)$ ; alors $IJ$ est un diamètre de $(IBC)$ et $AI.AJ = AB.AC$.

A+

JLT · November 2019

Il est classique que $J$ est le centre du cercle exinscrit dans l'angle $\widehat{A}$. Alors $AI.AJ$ est la puissance de $A$ par rapport au cercle $(IBC)$, et vaut donc aussi $AB.AC'$ où $C'$ est le second point d'intersection du cercle $IBC$ avec $(AB)$. Or, $C'$ est le symétrique de $C$ par rapport à la bissectrice $(AI)$, donc $AC=AC'$, d'où $AB.AC'=AB.AC$.