Géométrie du ballon de foot
Bonsoir à toutes et à tous,
je me pose la question suivante : il est "bien connu" qu'il est impossible de paver un ballon de foot avec une seule forme (hexagones par exemple). Qui sait comment démontrer ce "bien connu" ?
Ma piste est que les hexagones pavent le plan et que la sphère et le plan ne sont pas homéomorphes... ça n'a pas convaincu le collègue à qui je m'en suis ouvert et, puisque c'est un matheux brillant, je lui fais confiance et admet me fourvoyer probablement.
Quelqu'un connaît-il une preuve de ce résultat "bien connu" ou une référence sur "la géométrie du ballon de foot" ? "Le" Perrin peut-être (les guillemets étant là pour signifier que cette familiarité n'a rien d'un manque de respect) ?
Bien amicalement,
F.D.
je me pose la question suivante : il est "bien connu" qu'il est impossible de paver un ballon de foot avec une seule forme (hexagones par exemple). Qui sait comment démontrer ce "bien connu" ?
Ma piste est que les hexagones pavent le plan et que la sphère et le plan ne sont pas homéomorphes... ça n'a pas convaincu le collègue à qui je m'en suis ouvert et, puisque c'est un matheux brillant, je lui fais confiance et admet me fourvoyer probablement.
Quelqu'un connaît-il une preuve de ce résultat "bien connu" ou une référence sur "la géométrie du ballon de foot" ? "Le" Perrin peut-être (les guillemets étant là pour signifier que cette familiarité n'a rien d'un manque de respect) ?
Bien amicalement,
F.D.
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Réponses
Un pavage de la sphère par des carrés fonctionne. Cela s’appelle un cube. Mais on ne trouve pas cela satisfaisant.
Les ballons classiques avec des hexagones et des pentagones sont-ils « exactement » la sphère ? Non.
Les solides de Platon sont les seuls à être des polyèdres réguliers. Il en existe cinq.
(Mais aucun n’est une sphère...)
C’est ce dernier résultat (solides de Platon) qui, pour ma part, mérite d’être qualifié de « bien connu ».
Ai-je compris ton questionnement ?
Édit : https://www.mathcurve.com/polyedres/catalan/catalan.shtml
Édit :
Autre suggestion : on considère un cube et sa sphère circonscrite.
On projette le centre des carrés (orthogonalement à ceux-ci) sur la sphère.
On vient de créer un polyèdre -cube–augmenté- dont l’Allemagne (?!?!) la même sphère est circonscrite.
Ce polyèdre ne contient que des triangles isocèles, tous égaux. Mais il est difforme (ce n’est pas un polyèdre régulier).
On peut continuer avec la même méthode si on sait choisir un point de chaque face à projeter sur la sphère.
En gros, on s’approche de plus le plus de la sphère.
en fait mon questionnement est confus et n'a pas vraiment de sens comme ta réponse me le fait réaliser.
Je pense que je me suis posé la mauvaise question, ton explication me fait comprendre la réponse trouvée sur le blog d'Hervé Lehning différemment: l'icosaèdre est le solide de Platon le plus proche de la sphère, on en tronque les sommets par des pentagones car ils sont adjacents à 5 faces, il apparaît, de facto, des hexagones sur les faces de ce solide tronqué. C'est ce que l'on appelle, donc, un "pavage" de la sphère.
Merci beaucoup!
Dans des jours comme ça, je vois à quel point les cours de géométrie m'auront manqué dans ma formation (coucou Bruno),
bien amicalement,
F.D.
Permettez-moi d'évoquer à ce sujet, à titre de curiosité, la molécule de "footballène" constituée de 60 atomes de carbone disposés comme s'ils étaient placés aux 60 sommets du polyèdre qu'est un ballon de foot ...
cf article "fullerène" de wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Fullerène
Bien cordialement
JLB
Quelle serait la forme optimale des deux pièces
qui forment une balle de tennis ?
Joint : un ovale de Cassini
$|zf_1||zf_2|=1.3$
je ne comprends pas ta remarque? je n'étais pourtant pas ambigü: les hexagones sont sur les faces de l'icosaèdre de base.
On peut supposer que je suis fatigué et idiot!
Très amicalement,
F.D.
https://www.linternaute.fr/dictionnaire/fr/definition/ambigu/
Si on veut réaliser une surface convexe homéomorphe à une sphère par un polyèdre dont toutes les faces sont des polygones réguliers à même nombre de côtés, messieurs Gauss et Bonnet nous imposent de sévères limitations : la courbure totale doit être $4\pi$, et cette courbure est concentrée aux sommets du polyèdre, sous forme de défaut angulaire : la différence entre 360° et la somme des angles des faces en un sommet
Pour des faces triangles équilatéraux, on peut mettre 3 faces par sommet et il faut alors 4 sommets pour arriver à la courbure totale $4\pi$ (tétraèdre) ou 4 faces par sommets avec 6 sommets (octaèdre) ou 5 faces par sommet avec 12 sommets (icosaèdre). Pour des faces carrées, on peut mettre 3 faces par sommet et il faut alors 8 sommets (cube). Pour des pentagones réguliers on peut mettre encore 3 faces par sommet, avec 20 sommets (dodécaèdre).
Pour des hexagones réguliers, ça foire : pour trois faces en un sommet, pas de défaut angulaire, c'est tout plat, pas de courbure !
Avec des jeunes élèves, on peut réaliser ça manuellement, avec des polygones réguliers de couleurs différentes qui peuvent se clipser les uns avec les autres le long des arêtes.