Absurdité et complexité sont les deux mamelles de l'administration.
Bissectrice dans un triangle
dans Géométrie
Bonjour,
Le résultat suivant est-il vrai ?
La longueur de la bissectrice intérieure d'un angle est inférieure à la moyenne harmonique des côtés comprenant l'angle ?
A+
Le résultat suivant est-il vrai ?
La longueur de la bissectrice intérieure d'un angle est inférieure à la moyenne harmonique des côtés comprenant l'angle ?
A+
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Réponses
La réponse est oui : si $h=\dfrac{2bc}{b+c}$ est cette moyenne harmonique, la longueur de la bissectrice intérieure est $h\cos \dfrac{\widehat{A}}{2}$.
Bien cordialement. Poulbot
On a $w_{a}=AD=\dfrac{2bc}{b+c}\times \cos(\dfrac{\alpha}{2})$ où $D$ est pied de la bissectrice intérieure issue du sommet $A$ et appartenant à $BC.$
La moyenne harmonique de $b$ et $c$ est $\dfrac{2bc}{b+c}.$
La réponse est immédiate.
Amicalement
Donc la hauteur est majorée par le minimum des côtés adjacents, la bissectrice par leur moyenne harmonique et la médiane par leur moyenne arithmétique.
Quid de la moyenne géométrique, de la bissectrice extérieure et de la symédiane ?
A+
$$
BP\times AC^2 + CP\times AB^2 = BC\times (AP^2 + BP\times CP)
$$