Équivalence birationnelle et homéomorphisme

effectivement je voulais dire que le genre est un invariant de l'équivalence birationnelle je m'excuse .
Dans ce cas je me demande ce qui correspond à l'homéomorphisme ? peut être avoir seulement un morphisme birationnel sans qu'elle ait forcement une réciproque ?
je m'explique, quand on prend une courbe algébrique $C$ non lisse, par un nombre fini d'éclatement on trouve une courbe lisse $ \tilde{C} $ et un morphisme birationnelle $\pi : \tilde{C} \longrightarrow C $ et ce dernier préserve le genre si je me trompe pas ? et $\pi$ n'est pas forcement une équivalence birationnelle ?
est-ce que j'ai faux ?
pour appuyer ce que je dit, si je prend la courbe $ y^2=x^3 $ l'application $ t \longrightarrow (t^2,t^3) $ est bien un morphisme birationnelle de $\mathbb{C} $ dans cette courbe et le genre reste le même donc ça veut dire qu'il induit un homéomorphisme de cette courbe ( vu en projectif ) sur la sphère sans être une équivalence birationnelle vu que la courbe est singulière.

Merci

dommage, mais ça me fait toujours me poser la question, c'est quoi la relation d'équivalence entre les courbes algébrique qui donne lieu a un homéomorphisme quand on prend les courbes sur le corps $\mathbb{C}$.
si je prend un homéomorphisme entre deux courbes algébrique dans $\mathbb{C}$ il n'a aucune forme particulière qui peut être décrite seulement algébriquement, si on peut décrire le genre par une formule algébrique je pensais qu'il y aurait un équivalent de l'homéomorphisme.

En bref j'ai envie de dire les courbes algébrique $C$ et $C'$ sont équivalente (suivant une certaine relation équivalence ) si et seulement si les surface de Riemann $C$ et $C'$ sont homéomorphe . J'aimerais bien trouver cette relation équivalence si possible.

d'autre part vous dites "si tu pars de la cubique rationnelle (genre 0) d'équation $y^2=x^2-x^3$ et que tu éclates l'origine, l'éclatement est un morphisme birationnel mais n'est certainement pas un homéomorphisme" mais pourtant le genre est bien préservé donc les deux courbes sont forcement homéomorphe même si homéomorphisme en question n'est pas induit par l'éclatement on sait qu'il existe vu que le genre reste le même.


merci de votre aide

Je comprends mais même si elle n'est pas lisse son genre devrait définir sa topologie si genre est zéro alors c'est homéomorphe à une sphère.
Ce que je me demande c'est ce que donne le genre pour les courbes algébriques, si deux courbes algébriques ont le même genre alors elle sont ? on dira homéomorphe pour les courbes sur $\mathbb{C}$ mais en général on dit quoi ?

Et je n'arrive pas vraiment à m'imaginer un tore pincée mais c'est homomorphe à une sphère vu que le genre vaut 0 non ?

Je m'excuse je n'essaye en aucun cas de vous contredire je n'avais juste pas compris le but de l'exemple.

Donc en fait vous avez donné un exemple de courbe de genre 0 non homéomorphe à la sphère.

Dans ce cas ça veut dire que je ne comprends pas vraiment la signification du genre.

Donc si j'ai bien compris la courbe donnée par l’équation $ y^2=x^2 - x^3 $ est de genre $0$ sans être homéomorphe à la sphère.
Mais puisque cette courbe est aussi une surface topologique compacte connexe et orientée alors elle est forcement homéomorphe à la sphère ou à un tore à g trous (d’après la classification des surfaces topologiques compactes connexes et orientées) et en topologie le genre de cette surface vaut 0 si c'est homéomorphe la sphère et g si c'est homéomorphe à un tore à g trous avec $ g \geq 1 $ (pour les surface topologique la "lissité" n'entre pas en compte, par exemple on dit qu'un cube est de genre 0 de même pour une pyramide car homéomorphe à la sphère).
Mais vous dites que cette courbe n'est pas homéomorphe à la sphère donc elle est obligatoirement homéomorphe à un tore à g trous avec $g \geq 1 $.
De ce fait cela voudrait-il dire que le genre obtenu par la formule du genre des courbes algébriques et celui obtenu par le fait d’être homéomorphe à un tore à g trous n'est pas le même ?

Merci pour votre aide.

très bien ce n'est donc pas une variété topologique, mais ce n'est pas aussi évident, si je reprends l'exemple $ y^2=x^3 $ cette courbe n'est pas lisse mais est bien une surface topologique car elle est homéomorphe à la sphère en tant que courbe sur le plan projectif.
Mais je pense que je comprends, avec l'exemple que vous donnez avec l’équation $ y^2 = x^2 - x^3 $ il n'existe aucun voisinage de $(0,0)$ tel que la courbe soit homéomorphe à un ouvert $ \mathbb{R}^2$, c'est bien ce que vous voulez dire ?

Par contre je tiens tout de même à ajouter qu'un cube est une variété topologique et n'est pas lisse la courbe $y^2 = x^3$ est une variété topologique et n'est pas lisse non plus, ces deux variétés topologique sont d'ailleurs homéomorphe à la sphère et sont de genre 0, tout ça pour dire que l'absence de lissité qui est l’argument que vous m’accusez à tort d'ignorer n'est pas le bon.

J'ai posé des questions le plus respectueusement possible, mais vous m'avez répondu de façon totalement irrespectueuse, si vous vous trouvez que ce que je dit est mathématiquement stupide et que je ne mérite pas d'avoir vos explications sur le sujet c'est votre droit, mais rien ne justifie que vous me parliez de façon aussi agressive.
Je vous demande donc de ne pas ajouter plus de commentaire si c'est pour le faire de cette façon.
Merci.

Je répète encore une fois un cube est une variété topologique et n'est pas lisse la courbe $y^2=x^3$ est une variété topologique et n'est pas lisse non plus, ces deux variétés topologique sont homéomorphe à la sphère qui elle est lisse et de genre 0, l'absence de lissité n'est pas le bon argument vous avez tort sur ce point et vous refusez de l’admettre, ce qui fait qu'en plus d’être irrespectueux vous faite preuve d'arrogance .
Je ne suis ni de votre famille ni un de vos proche pour que vous me parliez de la sorte, je vous conseille vivement d'apprendre à mieux vous tenir en société.